Слинки: простая игрушка со сложной физикой

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! Сегодня статья по относительно новому видео на нашем канале: поговорим про удивительное поведение пружины-слинки. Пока мы держим пружинку за привязанную ниточку, она растянута под действием собственного веса. Отпустим ее: невооруженным глазом не заметить самое интересное, давайте посмотрим кадры со скоростной камеры.

Видно, как верхняя часть пружины устремилась вниз, а нижняя часть остается неподвижной — пока все витки не соберутся и не начнут падать вместе. Давайте объясним это явление и научимся его рассчитывать.

Простая модель: два шарика и пружина

Упростим ситуацию и сделаем еще один опыт. Здесь верхний шарик подвешен на нити, а к нему снизу на растянутой пружине подвешен еще один шарик. Пережигаем нить — и снова видим, как нижний шарик остается на месте, а верхний движется сверху вниз, пока пружина полностью не сложится.

Обозначим силы, которые действуют на шарики. На нижний шарик действует сила тяжести mg и равная ей по величине и противоположно направленная сила упругости пружины. А на верхний шарик действует и сила тяжести mg, направленная вниз, и сила упругости пружины, также направленная вниз — так что полная сила равна 2mg.

Поэтому, когда мы пережигаем нить, шарик начинает двигаться с ускорением 2g. А нижний шарик висит на растянутой пружине и еще об этом ничего не знает — и поэтому он остается неподвижным.

Усложняем модель: цепочка из N шариков

А теперь усложним нашу модель и подвесим на нити целую цепочку из N шариков, связанных невесомыми пружинками.

На нижний шарик опять действует сила тяжести mg, которая уравновешена силой упругости нижней пружинки. А вот на верхний шарик действует не только сила тяжести mg, но и сила упругости, равная весу всех подвешенных снизу шариков — так что полная сила, действующая по направлению вниз, равна NMg.

И пока что она скомпенсирована силой натяжения нити. Но как только мы пережжем нить, на верхний шарик будет действовать нескомпенсированная сила NMg, которая сообщит ему ускорение Ng. А нижний шарик ничего об этом по-прежнему не знает, и сила, действующая на него, равна нулю — так что он пребывает в неподвижности.

Проверяем на слинки: ускорение в 35g

А теперь вернемся от нашей модели к пружине-слинки. В нашей пружине 35 витков — и если мы мысленно разделим ее на эти 35 витков, то на старте самый верхний виток должен начать двигаться с ускорением 35g. Давайте посмотрим на видео, как это происходит.

Возьмем в руку мячик и верхний конец пружины и отпустим их одновременно. Верхний конец слинки устремился вниз, оставив мячик далеко позади, — а ведь мячик падает с ускорением g.

Для контроля возьмем вместо мячика баночку и снова повторим опыт — и мы опять видим такое же отставание: пружина уходит далеко вперед.

Теоретическая модель: центр тяжести, время схлопывания и три скорости

Мы показали опыты с пружиной и высказали некоторые качественные соображения о ее падении. А теперь займемся построением теоретической модели этого падения.

Когда пружина подвешена, расстояния между соседними витками снизу растут как последовательные натуральные числа, потому что деформация витка пропорциональна количеству оттягивающих его нижних витков.

И оказывается, что центр тяжести такой пружины отстоит от ее нижнего конца на 1/3 от полной длины.

Вы можете попробовать доказать этот красивый математический факт самостоятельно — а поможет вам в этом наш ролик «Треугольник Паскаля».

Теперь мы можем найти время, за которое происходит полное схлопывание пружины-слинки. Ведь пока верхний конец пружины быстро летит вниз, центр тяжести пружины пребывает в свободном падении — значит, это падение подчиняется стандартной формуле s = gt²/2.

Проходится при этом расстояние s = L/3. Подставляем в эту формулу и извлекаем время — назовем его τ. И это время равняется √(2L/3g).

Найдем две скорости:

1. Среднюю скорость, с которой верхний конец пружины проходит путь до полного схлопывания: для этого мы просто поделим длину пружины в растянутом состоянии на время τ. Получаем v_ср = √(3gL/2).

2. Скорость, с которой эта точка пружины приходит вниз. Когда пружина схлопывается, то все витки движутся с одинаковой скоростью — это скорость, с которой движется центр тяжести пружины, добравшийся до низа. Чтобы найти скорость, с которой движется центр тяжести, надо ускорение g, с которым он падает, умножить на время τ — получаем v_k√(2gL/3).

Сравним эти две величины — и увидим, что средняя скорость больше конечной скорости. Это значит: набрав большую скорость в начале, верхний конец пружины постепенно замедляет свое движение. И в начале он имел еще большую скорость, чем средняя.

Чтобы найти скорость, которую приобретает первый виток в начале движения, мы заметим, что у неравномерно растянутой под собственным весом слинки средняя сила, растягивающая виток, равна mg/2. Теперь мы нарисуем такую же слинки, но находящуюся в невесомости и равномерно растянутую силой, равной mg. Здесь каждый виток растягивается этой силой — поэтому длина такой пружины будет равна 2L.

Теперь отпустим верхние витки обеих пружин: они растянуты одинаково, будут сжиматься одинаково — и приобретут равные скорости.

Найдем эту скорость по закону сохранения энергии. Для равномерно растянутой пружины: если первый виток растянут на длину x, потенциальная энергия его деформации равна Fx/2, то есть Mgx/2. Эта энергия перейдет в кинетическую энергию витка mv²/2. А масса витка равна массе всей пружины, умноженной на длину витка x и поделенной на длину всей пружины 2L. Приравняв эти две энергии, находим скорость, которую приобретает первый виток обеих пружин — она равна √(2gL).

Проверяем теорию экспериментом

Мы собрали все теоретические предсказания вместе, переписали коэффициенты в виде десятичных дробей — и теперь все это можно проверить в эксперименте.

Для того чтобы трассировать движение верхнего витка слинки, мы приделаем к ней маркер.

А еще нужно заметить, что мы в наших теоретических рассуждениях считали, что витки пружины не имеют толщины и она схлопывается в совершенно плоский блин. Однако в свернутом состоянии высота пружины составляет целых 10 см — так что центр тяжести находится на высоте 5 см. Учитывая это, нужно считать длину растянутой пружины 77 см.

Подставим это значение длины во все формулы и получим вот такие теоретические предсказания для времени схлопывания пружины и трех скоростей.

Пережигаем нить и трассируем движение верхнего витка. Вместо предполагаемого в теории монотонного уменьшения скорости мы видим на графике какие-то беспорядочные рывки: скорость меняется скачками из-за того, что витки ударяются с перекосом, складываются неравномерно и отскакивают друг от друга.

Но посмотрим на картину в целом: здесь красным записаны предсказания теории, а синим — результаты эксперимента. И мы видим, что время схлопывания, а также все скорости в теории и эксперименте с хорошей точностью совпадают.

Компьютерная симуляция подтверждает расчеты

Откроем вам тайну: когда мы начали готовить этот материал, мы первым делом изготовили компьютерную симуляцию слинки: собрали пластинки, соединили их пружинками и дали этим пластинкам вытянуться вниз под собственным весом.

А теперь убираем якорь на верхней пластинке — и модель складывается в полете. На графике скорости никаких крупных скачков теперь нет — но есть мелкие, возникающие при ударе об очередную пластинку. Мы видим, что скорость верхней пластинки постепенно уменьшается.

Отношение ее начальной и конечной скоростей составляет примерно 1,7, как и предсказывает теория.

Вопрос напоследок: почему верхний виток замедляется?

Задача про слинки игралась почти 20 лет назад на Международном турнире юных физиков в 2007 году — и там, конечно, оппонент мог задать докладчику вопрос: «А объясните, пожалуйста, почему верхний виток, набрав такую большую скорость, потом постепенно эту скорость уменьшает?». Этот вопрос мы и приглашаем вас обсудить в комментариях.

К сожалению, наши ведущие физически не успевают отвечать на комментарии на всех площадках GetAClass. Поэтому под этой статьей предлагаем вам обсудить тему друг с другом, а если вам хочется поговорить напрямую с Андреем Щетниковым и Алексеем Колчиным, тогда милости просим в наше сообщество на YouTube!