Математика, физика и мир: Проблема координации

Физическая теория использует математический формализм, но отличие физики от математики связано с проведением реальных экспериментов. Можно даже сказать, что экспериментальная установка соединяет математические уравнения физической теории с миром. Понимание происходящего связано с вопросом измерения физических величин. На первый взгляд он кажется интуитивно понятным, поскольку парадигмальным примером измерения служит измерение длины. Длина измеряется линейкой, требуется выбор единиц измерения, но не сложно пересчитать полученную величину из одной размерности в другую.

Бас ван Фраассен для демонстрации концептуальных трудностей сформулировал проблему координации в виде двух тесно связанных вопросов о физической величине: 1) Что такое физическая величина? 2) Что можно считать измерением физической величины? Требуется отделить эти вопросы друг от друга и тем самым избежать порочного круга. Например, следующее утверждение явно бессодержательно: температура - это то, что измеряет термометр, и поэтому измерение термометра можно считать температурой. Более правильно сказать, что термометр измеряет температуру, но для понимания смысла этого утверждения в первую очередь требуется понимание принципа работы термометра.

Рассмотрение отталкивается от книги Пьера Дюгема 'Физическая теория, её цель и строение' (первое издание вышло в 1906 году), в которой разбирался вопрос связи физической теории с экспериментом. Дюгем ввел понятие идеального измерительного прибора и рассмотрел его связь с реальным прибором. Идеи Дюгема разбираются на примере измерения температуры при наличии физической теории. После этого кратко рассмотрена история термометрии; это покажет, каким образом проблема координации решалась в ходе становления физической теории.

Далее результаты обобщаются на эксперименты, которые будут использованы в дальнейших статьях. В них на примере горения свечи планируется обсуждение связи между механикой сплошных сред и статистической механикой в квазиклассическом приближении. Для этого в этой статье рассмотрение проблемы координации обобщается на измерение свойств вещества в механике сплошных сред, а со стороны статистической механики рассматривается спектроскопия и определение фундаментальных постоянных.

• Теория и эксперимент в физике

• Измерение температуры в настоящее время

• Из истории термометрии

• Измерение свойств веществ

• Спектроскопия и фундаментальные постоянные

• Обсуждение

• Список литературы

Теория и эксперимент в физике

В книге Дюгема предлагается разумный взгляд на разрешение проблемы координации в случае наличия физической теории. В изложении Дюгема проведение физического эксперимента выглядит таким образом:

'Физический эксперимент есть точное наблюдение группы явлений, связанное с истолкованием этих явлений. Это истолкование заменяет конкретные данные, действительно полученные наблюдением, абстрактными и символическими описаниями, соответствующими этим данным на основании допущенных наблюдателем теории.'

Дюгем таким образом отмечает, что физик-экспериментатор переводит наблюдаемые явления в ходе эксперимента в численные значения. Именно этот шаг связывает математику с миром, и поэтому необходимо более внимательно рассмотреть, как это происходит. В данном случае важно не забывать про отличие идеального инструмента на основе физической теории от реального прибора:

'Когда физик производит какой-нибудь опыт, ум его одновременно занимают два прекрасно различаемых представления об инструменте, с которым он работает: одно есть образ конкретного инструмента, с которым он действительно работает, другое - схематический тип того же инструмента, построенный с помощью символов, данных теориями. И именно к этому второму инструменту, идеальному и символическому, он применяет законы и формулы физики.'

В дальнейшем я буду говорить, что реальному прибору ставится в соответствие концептуальная модель на основе физической теории. При обсуждении связи математики, физики и мира важно сохранить разницу между реальным и идеальным инструментом. С одной стороны, это приводит к необходимости введения поправок в проводимые измерения:

'Будь физический эксперимент простым констатированием факта, было бы абсурдом производить в нем поправки. … Напротив того, логическая роль поправок становится вполне понятной, если вспомнить, что физический эксперимент есть не только констатирование группы фактов, но и перевод этих фактов на символический язык при помощи правил, заимствованных из физической теории. Отсюда в действительности следует, что физик постоянно сравнивает между собой два инструмента: реальный инструмент, с которым он работает, и инструмент идеальный и символический, о котором он рассуждает.'

С другой стороны, следует помнить о погрешностях измерения. В книге Дюгема сюда включаются ошибки считывания показаний, систематические ошибки, связанные с неучтенными обстоятельствами, на которые невозможно внести поправки, и случайные ошибки. Погрешности измерения является важной частью проводимых экспериментов и поэтому необходимо включить их в явном виде при обсуждении связи между математикой, физикой и миром.

Измерение температуры в настоящее время

В основе современной температурной шкалы лежит газовый термометр. В этом случае есть две теории, связанные с двумя разными уровнями организации: классическая термодинамика как составная часть механики сплошных сред и статистическая механика. Рассмотрение термометра более правильно вести на уровне механики сплошных сред. Статистическая механика дает объяснение происходящему, но реальный прибор сравнивается с идеальным измерительным прибором на основе механики сплошных сред.

На этом уровне температура вводится в нулевом законе термодинамики как величина для описания теплового равновесия, которое устанавливается между двумя системами. При тепловом равновесии температуры двух систем равны, при этом температура обладает свойством транзитивности. Если последовательное измерение термометром двух разных систем показывает то же самое значение температуры, то температуры этих систем совпадают. Такая формулировка закона позволяет перейти к термическому уравнению состояния, которое лежит в основе работы газового термометра.

Измерение температуры отличается от измерения длины тем, что операция сложения температур теряет смысл; длина является экстенсивным свойством, а температура интенсивным. Температура влияет на разные свойства вещества и это дает возможность для создания разных термометров. Однако газовый термометр играет решающую роль, поскольку он лежит в основе температурной шкалы, не зависящей от вещества, используемого в термометре.

Концептуальная модель термометра связана с существованием термического уравнения состояния; в случае постоянства массы и состава математическая запись выглядит таким образом f(p, V, T) = 0. Из этого уравнения следует наличие коэффициента термического расширения, что дает возможность использовать объем или давления в качестве индикатора температуры. На рис. 1 слева показана схема газового термометра при постоянном давлении, когда изменение температуры изменяет объем газа. На это рисунке справа изображена схема газового термометра при постоянном объеме, когда изменение температуры изменяет давление газа.

Абсолютная температурная шкала появилась в классической термодинамике. Выражение для максимального коэффициента полезного действия (к.п.д.) тепловой машины с использованием абсолютной температурной шкалы упрощается - в этой шкале к.п.д. идеальной тепловой машины становится равным отношению абсолютных температур. Хорошая новость связана с тем, что введенная таким образом абсолютная температурная шкала совпадает с температурой, измеренной газовым термометром при использовании газа, подчиняющегося уравнению состояния идеального газа: pV = RT (p - давление, V - объем, T - абсолютная температура, R - универсальная газовая постоянная). Таким образом, построение идеальных тепловых машин для калибровки температуры не требуется.

Плохая новость состоит в том, что поведение реальных газов несколько отличается от уравнения состояния идеального газа. Таким образом, идеал температурной шкалы, независящей от рабочего вещества, достигается в работе газового термометра на основе несуществующего газа. Метрологи используют газовый термометр с реальными газами, а затем вводят поправки на неидеальность поведения этих газов. На этом этапе видна роль статистической механики, которая подсказывает вид уравнения состояния для реальных газов, используемых в термометрии, и тем самым облегчает введение необходимых поправок.

Термин абсолютная температурная шкала подчеркивает существование абсолютного нуля температур, поэтому для построения шкалы требуется только одна реперная точка, в качестве которой выбрана тройная точка воды. Согласно законам термодинамики вещество невозможно охладить до абсолютного нуля, и реперная точка 0 К недостижима, но это не мешает созданию работающей термодинамической шкалы температур.

Итак, физическая теория говорит, что такое температура и объясняет процессы, протекающие при фазовых переходах веществ (реперные точки). Помимо этого, теория задает концептуальные модели идеальных приборов и процедур, необходимых для калибровки температурной шкалы. На этой основе метрологи проводят многочисленные эксперименты с реальными приборами, которые после внесения необходимых поправок (поправка поправку подгоняет) приводят к созданию международной температурной шкалы.

Далее разрабатываются эффективные процедуры калибровки термометров различных классов точности, которые затем становятся доступными для использования на практике. В результате сложившаяся физическая теория отвечает на вопрос, что такое температура и что можно считать измерением температуры. Все это в свою очередь позволяет не задумываясь сказать, что температура измеряется термометром.

Из истории термометрии

Задачи измерения температуры и изучения термического уравнения состояния вещества связаны между собой. По сути дела это два разных аспекта вопросов ван Фраассена о температуре как физической величине. В данном случае нулевой закон термодинамики позволяет отделить вопрос измерения температуры от изучения термического уравнения состояния путем введения практической температурной шкалы, которая характеризуется выбором определенного вещества для задания стандартной шкалы температуры.

Интерес к измерению температуры появился в 17-м веке с использованием прототипов газовых термометров. Однако достаточно быстро было обнаружено, что газовый термометр является и барометром, поскольку объем газа зависит как от температуры, так и от давления. В результате в 18-м веке перешли к использованию жидкостных термометров. Зависимость объема жидкости от давления пренебрежимо мала, а также можно пренебречь тепловым расширением корпуса термометра.

Было отмечено, что термический коэффициент расширения спирта меняется с температурой, и поэтому в качестве стандарта был выбран ртутный термометр с использованием двух реперных точек, температуры плавления льда и температуры кипения воды при заданном давлении. Использование жидкостных термометров привело к стабильным и воспроизводимым результатам. Важно отметить, что появление термометрии привело к осознанию разницы между температуры и теплотой и разработкой в конце 18-го века калориметров для измерения количества теплоты.

Со временем потребовался выход за температуры кипения и замерзания ртути, поэтому в начале 19-го века вернулись к идее использования газового термометра. К этому времени появились барометры для измерения давления, а также стали известны газовые законы: закон Бойля-Мариотта, закон Шарля и закон Гей-Люссака. Считалось, что это универсальные законы для всех газов и тем самым появилась надежда на создание температурной шкалы, независящей от рабочего вещества термометра.

Однако более точные и педантичные измерения физика Анри Виктора Реньо в седине 19-го века показали, что поведение разных газов несколько отличается друг от друга и от предполагаемого универсального уравнения состояния газа. Появление молекулярно-кинетической теории дало объяснение наблюдаемым эффектам — уравнение состояния идеального газа отвечало газу без взаимодействий между молекулами, что достигалось при малых концентрациях (малых давлениях). В результате во второй половине 19-го века появился термин ‘уравнение состояния идеального газа’, а также понимание, что поведение реального газа при понижении давления стремится к состоянию идеального газа.

В результате газовый термометр стал рассматриваться как наиболее точное устройство для измерения температуры. В 1887 году Международный комитет по мерам и весам предложил международную практическую температурную шкалу (МПТШ) на основе водородного газового термометра постоянного объема с двумя реперными точками. Она была утверждена в 1889 на Генеральной конференции по мерам и весам. По ходу дальнейшей работы метрологов практическая температурная шкала совершенствовалась (МПТШ-27, МПТШ-48, МПТШ-68). Термодинамическая температурная шкала появилась в 1990 году (МТШ-90), и она действует до настоящего времени. В 2019 году кельвин был переопределен через постоянную Больцмана, численное значение которой была зафиксировано, но это не внесло изменений в МТШ-90.

Измерение свойств веществ

Измерение температуры и давления является пререквизитом для перехода к рассмотрению свойств веществ, поскольку они зависят от температуры и давления. В этом смысле при проведении необходимых экспериментов требуется контроль температуры и давления при изучении свойств веществ.

В механике сплошных сред используется разные свойства вещества: теплопроводность, вязкость, модуль упругости и т. д. В этом случае рассмотрение выше обобщается на эксперименты по измерению этих свойств. Существует физическая теория, например уравнение теплопроводности Фурье. В теории вводится физическая величина, характеризующая свойство вещества, в приведенном примере - это теплоемкость и теплопроводность. Теплоемкость приходит из термодинамики, а определение теплопроводности следует из уравнения теплопроводности. Помимо этого, теория задает концептуальные модели идеальных экспериментов, в рассматриваемом примере для определения теплопроводности. Проведение реальных экспериментов на базе таких концептуальных моделей приводит к появлению численных значений теплопроводности. На этом пути используется метрология, необходимость введения поправок, а также появляются неизбежные погрешности при проведении измерений.

В предыдущей статье 'Энтропия в классической термодинамимке' рассмотрен вопрос определения термодинамических свойств веществ. В разделе 'Калориметрия' представлен ледяной калориметр Лавуазье и Лапласа, а в следующих разделах введено понятие теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме, которое определяется при проведении калориметрических экспериментов. Аналогичным образом в калориметрии существует концептуальная модель идеального эксперимента и реальные эксперименты, которые требуют введения поправок и в которых есть погрешности измерения.

Энтропия представляет собой интересный пример физической величины, когда определение величины невозможно использовать при создании концептуальных моделей экспериментов для измерения этой величины. Энтропия вводится вторым законом, который содержит две части:

Для проведения измерений требуется часть с равенством, но концептуальная модель второго закона в этом случае требует использование обратимого процесса. Однако обратимый процесс является идеализацией, которая недостижима при проведении реальных экспериментов. Связь с экспериментальными исследованиями появляется только после математических преобразований с использованием формализма классической термодинамики:

Это уравнение позволяет определить изменение энтропии вещества на основе калориметрических экспериментов (теплоемкость), а также из термического уравнения состояния (коэффициент объемного расширения). Поскольку в этом уравнении содержатся только функции состояния, то результат интегрирования применим ко всем процессам, обратимым и необратимым.

В случае энтропии проблемы с пониманием также связаны со второй частью второго закона в виде неравенства, см. по этому поводу предыдущую статью 'Стрела времени в классической термодинамике'. В случае энтропии надежда на быстрое и интуитивное понимание сущности физической величины не оправдывается; понимание возможно только после проработки формализма классической термодинамики, другого пути в этом случае нет.

Спектроскопия и фундаментальные постоянные

При переходе к статистической механике появляются новые эксперименты, среди которых в дальнейшем потребуется представление о спектроскопии и о измерении фундаментальных постоянных. В этом разделе содержится краткое введение в спектроскопию и также обсуждение измерения числа Авогадро.

Спектроскопия восходит к опыту Ньютона по разложению луча солнечного света на составляющие цвета с использованием призмы. В начале 19-го века было обнаружено, что такой спектр содержит линии, как бы разделяющие соседние цвета. Более систематическое изучение спектральных линий и установление их связи с химическими элементами было проведено Кирхгофом и Бунзеном в 1860-х годах. Рассмотрим конструкцию их прибора:

В пламя свечи горелки Бунзена вводится исследуемое вещество с использованием штатива E. Система линз В фокусирует эту часть пламени на призму F, в которой происходит разложение спектра на составляющие. Наблюдение за спектром ведется через увеличительные линзы С. Призма вращается с использованием рычага H, при этом измерение угла вращения проводится при использовании зеркальца G.

Прибор Кирхгофа и Бунзена дает представление о идеальном спектрометре — об устройстве, которое пропускает только определенные длины волн и регистрирует их интенсивность. Спектром является график интенсивности от функции длины волн. Для понимания устройства требуется знание о взаимодействия электромагнитного поля с веществом, но первичное понимания о спектроскопии на этом уровне будет уже достаточно.

При введении вещества в пламя горелки в опытах Кирхгофа и Бунзена появлялся спектр линий, который измерялся при вращении призмы. Было найдено, что появляющийся спектр зависит от введения определенного химического элемента в пламя свечи; спектроскопия в первую очередь стала использоваться для химического анализа. Помимо прочего это открыло возможность к изучению химического состава Солнца и звезд. Отмечу, что наблюдательные физики и математики заметили простые законо­мерности при описании спектров атомарного водорода с использованием натуральных чисел (серии Бальмера и Ридберга) и это пригодилось в 20-м веке при создании квантовой механики.

Макромир и микромир связаны между собой значениями фундаментальных постоянных. Их надежные численные значения появились в первом десятилетии 20-го века и это обстоятельство существенно поменяло отношение физиков к реальности атомов и молекул. В конце 19-го - в самом начале 20-го века статус статистической механики оставался на уровне полезной гипотезы. Одна из причин была связана с числом Авогадро, которое входило в формализм теории. В 19-м веке были попытки оценки числа Авогадро, но разница между полученными значениями составляла несколько порядков величины.

Ситуация существенно изменилась за первое десятилетие 20-го века, см. неплохое описание в книге Смита и Сета 'Броуновское движение и действительность молекул'. В первом десятилетии 20-го века число Авогадро было получено разными методами: использование заряда электрона и числа Фарадея; излучение черного тела - теория Планка; эксперименты с альфа-частицами; эксперименты Перрена по броуновскому движению. Отличие в числен­ном значении числа Авогадро, определенного разными методами, перед первой Сольвеевской конференцией в 1911 году составляло менее 10%. Таким образом, после первого Сольвеевского конгресса сомнения в реальности атомов стали признаком альтернативной науки. Бас ван Фраассен в данном случае говорит об эмпирическом обосновании теории; для принятия теории требуется экспериментальное опреде­ление всех численных значений констант, входящих в теорию.

В настоящее время в современной метрологии исходя из внутренних соображений численные значения многих фундаментальных постоянных зафиксированы. Однако это не избавляет от необходимости понимания исходных экспериментов, которые привели к этим значениям.

Обсуждение

Современная физика невозможна без использования математического формализма. Физическая теория отвечает на вопрос, что такое физическая величина, и предлагает концептуальные модели для измерения этой величины. На этой основе создается реальная экспериментальная установка, смысл которой, однако, можно понять только при использовании математического формализма физической теории. В простых случаях, например, при измерении температуры или теплопроводности вещества концептуальные модели интуитивно понятны, и это создает впечатление, что математика не играет большой роли. Так, часто можно услышать, что математика - это просто язык.

Переход к более сложным случаях, например, к энтропии показывает, что такое отношение к математике уже не проходит. В данном случае невозможно понять, что такое энтропия, без проработки математического формализма хотя бы на минимальном уровне. Это также относится к статистической механике - попытка создать интуитивный образ энтропии на базе статистической механики без должно понимания формализма ведет к неправильному пониманию энтропии. При этом формализм статистической механики гораздо более сложный, чем формализм классической термодинамики.

Несмотря на зависимость эксперимента от теории, между идеальной концептуальной моделью эксперимента и реальным экспериментом всегда остается отличие. Иногда погрешности опускаются до уровня тепловых флуктуаций (теплового шума), но чаще всего до этого не доходит. Обычно погрешности остаются необъясненными факторами в эксперименте, которые находятся за рамками используемой физической теории и которые не могут быть объяснены в этой теории. Этот момент придает экспериментальной физике определенную автономность, и следующая статья будет посвящена этому обстоятельству.

В заключение отмечу роль погрешностей в ходе истории физики на примере уравнения состояния идеального газа. В силу достаточно больших погрешностей измерения на начальном этапе сложилось впечатление об универсальности газовых законов. Это привело к появлению уравнения состояния идеального газа, которое вначале считалось универсальным. В свою очередь это обстоятельство сыграло важную роль в становлении классической термодинамики, поскольку вначале идеальный цикл Карно был проработан для идеального газа - в этом случае выкладки сравнительно простые. В ситуации, когда погрешности измерения при исследовании термического уравнения состояния были бы существенно меньше с самого начала, без уравнения состояния идеального газа становление термодинамики было бы гораздо более сложным делом.

Список литературы

Bas C. van Fraassen, Scientific Representation: Paradoxes of Perspective, 2008. Part II: Windows, Engines, and Measurement.

Пьер Дюгем, Физическая теория, её цель и строение. СПб., 1910. (Репринт: М.: КомКнига, 2007). Первое издание на французском в 1906 году.

Т. Куинн, Температура, 1985.

П. С. Кудрявцев, История физики, т. 1, От древности до Менделеева, 1956.

Hasok Chang, Inventing Temperature: Measurement and Scientific Progress, 2004.

George E. Smith and Raghav Seth, Brownian Motion and Molecular Reality, 2020.