Доказательство бесконечности чисел-близнецов

Напомню, числа-близнецы (или простые близнецы) — это пары простых чисел, которые отличаются друг от друга ровно на 2. Например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) и так далее.

У чисел-близнецов есть свойство которое поможет нам в доказательстве - формой представления, где все пары чисел-близнецов, кроме (3,5), имеют вид (6n-1, 6n+1).

Для нашего доказательства, вспомним теорему Евклида:

Предположим, что дан некоторый конечный список простых чисел 2, 3, 5 … z. Евклид доказывает, что существует простое число, не входящее в этот список.

Пусть Р - произведение этих чисел, Р = 2 * 3 * 5 * .... * z. Рассмотрим число Q = P+1. Если Q - простое, то найдено простое число, не входящее в данный список 2, 3, 5 … z (поскольку оно больше каждого числа из списка). Если же Q не является простым, то существует некоторое простое число х, на которое нацело делится число Q. Но х не может быть одновременно и делителем Q и элементом списка 2, 3, 5 … z, поскольку тогда при делении Q на х был бы остаток, не равный нулю. Значит, существует простое число х, не входящие ни в какой (конечный) список простых чисел 2, 3, 5 … z

Если в доказательстве Евклида из произведения простых чисел P выделим первые простые числа 2 и 3, представим P₁ = P/(2*3), а так же добавим еще одно условие, тогда получим:

Пусть Р - произведение этих чисел, Р = 2 * 3 * 5 * .... * z = 6* 5 * .... * z = 6 P₁. Рассмотрим число Q₁ = 6 P₁ +1 и Q₂ = 6 P₁ -1. Если Q₁ и Q₂ - простые, то найдены простые числа-близнецы, не входящие в данный список 2, 3, 5 … z (поскольку они больше каждого числа из списка). Если же Q₁ и Q₂ не являются простыми, то существует некоторые простые числа х, y, на которые нацело делятся числа Q₁ и Q₂. Но х и y не могут быть одновременно и делителем Q₁ и Q₂ и элементом списка 2, 3, 5 … z, поскольку тогда при делении Q₁ , Q₂ на х и соответственно на y, был бы остаток, не равный нулю. Значит, существует простые числа х и y, не входящие ни в какой (конечный) список простых чисел 2, 3, 5 … z.

Надеюсь, что данное доказательство на основе теоремы Евклида является верной.