[Перевод] ИИ доказал квазигипотезу Римана. Что дальше?

В отличие от других недавних доказательств, полученных искусственным интеллектом, это уже разобрали специалисты‑математики. Последствия, по словам одного из них, «ошеломляют».

Среди 377 результатов, о которых OpenAI объявила 6 октября 2026 года, один особенно выделялся. Компания заявила, что ей удалось доказать «квазигипотезу Римана», более слабую версию гипотезы Римана, которую можно назвать важнейшей нерешённой проблемой математики. Новое доказательство, по словам Джареда Дьюкера Лихтмана из Стэнфордского университета, стало «самым значительным на сегодняшний день достижением ИИ в математике, причём с большим отрывом».

Гипотеза Римана остаётся нерешённой уже более 160 лет. Её доказательство позволило бы математикам лучше понять природу простых чисел, одного из важнейших строительных блоков математики. И это только для начала.

Даже последствия более ограниченного результата, касающегося квазигипотезы Римана, «ошеломляют», заявил Максим Радзивилл из Нью‑Йоркского университета. «В некотором смысле подавляющее большинство следствий гипотезы Римана уже вытекает из квазигипотезы Римана».

Более того, вопреки давним ожиданиям математиков, для доказательства не потребовалось вводить никаких новых понятий. Вместо этого удалось обнаружить скрытые связи между уже известными. «Это доказательство представляет собой неожиданное объединение хорошо известных идей», — сказал Александр Данн из Технологического института Джорджии.

Доказательство частично опирается на методы, разработанные Радзивиллом и Данном. Вместе с другими специалистами по теории чисел они пытаются разобраться в доказательстве и понять, что оно может означать. Теперь они начинают получать ответы.

Дзета и не только

Чтобы понять, о чём говорит квазигипотеза Римана, сначала нужно разобраться с самой гипотезой Римана. Когда на рубеже веков Математический институт Клэя сформулировал семь задач тысячелетия, гипотеза Римана выделялась даже на фоне остальных шести. Она была единственной задачей, перешедшей из знаменитого списка важнейших математических проблем, который Давид Гильберт представил столетием ранее.

На первый взгляд гипотеза касается поведения определённой функции. Начнём с суммы
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯. Теперь используем эту сумму (вместе со специальным математическим приёмом, позволяющим расширить область её определения), чтобы построить более общую функцию, называемую дзета‑функцией Римана (ζ):

Здесь аргумент s представляет собой комплексное число. Комплексные числа состоят из двух частей: «действительной» и «мнимой», последняя является множителем квадратного корня из −1 (обозначаемого буквой i). Любое комплексное число можно представить в виде точки на плоскости:

Гипотеза Римана касается того, при каких значениях s дзета‑функция обращается в ноль.

Но на самом деле она затрагивает гораздо больше, чем просто поведение этой конкретной функции. Как понял Бернхард Риман, впервые сформулировавший гипотезу в 1859 году, функция связана с закономерностями распределения простых чисел. Это целые числа, которые делятся без остатка только на единицу и на самих себя и которые многие математики называют «атомами арифметики».

Давно известно, что по мере продвижения вдоль числовой прямой простые числа встречаются всё реже. Риман показал, что характер этого разрежения в определённом смысле определяется дзета‑функцией, а точнее, теми значениями её аргумента, при которых она обращается в ноль.

Нетрудно доказать, что если s представляет собой отрицательное чётное число (−2, −4, −6, …), то ζ(s) = 0. Такие значения называются тривиальными нулями. Гипотеза Римана утверждает, что все остальные нули дзета‑функции, называемые нетривиальными, возникают только тогда, когда действительная часть s равна 1/2. Иными словами, все они должны располагаться на одной вертикальной прямой:

Если бы хотя бы один нетривиальный нуль обнаружился за пределами этой вертикальной прямой, это означало бы, что простые числа должны образовывать крайне неожиданную закономерность распределения, которую до сих пор никто не наблюдал.

Даже простое сужение области, в которой могут находиться нетривиальные нули, имеет огромные последствия. Сам Риман доказал, что нетривиальные нули дзета‑функции могут располагаться только внутри вертикальной полосы между нулём и единицей. Затем, в 1896 году, два математика показали, что нули не могут лежать на границах этой полосы. Непосредственным следствием этого стало доказательство важного результата, известного как теорема о распределении простых чисел. Она даёт формулу, описывающую, насколько быстро в среднем уменьшается плотность простых чисел.

Если гипотеза Римана верна, математики могут гарантировать, что любые отклонения от среднего распределения, описываемого теоремой о распределении простых чисел, всегда будут небольшими.

Математики численно проверили, что первые 12 триллионов нетривиальных нулей лежат на прямой 1/2. Однако они не могут быть уверены, что гипотеза выполняется для всех нулей. Даже одно‑единственное исключение произвело бы эффект разорвавшейся бомбы. Как написал Энрико Бомбьери в статье, посвящённой формулировке этой задачи в рамках премии тысячелетия: «Опровержение гипотезы Римана вызвало бы хаос в распределении простых чисел».

Время простых чисел

Связь между дзета‑функцией и простыми числами была известна ещё до Римана. В 1737 году Леонард Эйлер показал, что для любого комплексного числа s дзета‑функция эквивалентна другой функции, которую можно записать исключительно через простые числа:

Это одна из тех удивительных связей, благодаря которым математикам кажется, будто они получают доступ к скрытой реальности. С тех пор математики продолжают развивать идеи, основанные на этой важнейшей взаимосвязи.

Бриллианты среди мусора

И здесь мы подходим к квазигипотезе Римана. Если гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули находятся на вертикальной прямой 1/2, то её «квази»‑версия требует лишь доказать, что все они заключены в вертикальной полосе, более узкой, чем уже известная полоса между нулём и единицей. Чем уже эта полоса, тем больше можно сказать о распределении простых чисел.

OpenAI представила две разные версии доказательства квазигипотезы Римана. Первая версия, датированная 30 сентября 2026 года, претендовала на доказательство того, что все нетривиальные нули должны находиться между 1/8 и 7/8. Она прошла формальную проверку с использованием языка программирования Lean. Вторая версия, завершённая почти неделю спустя (и пока не прошедшая формальную проверку), претендовала на доказательство более слабого результата: действительная часть всех нулей должна находиться между 1/12 и 11/12. Однако если первая статья занимает 199 страниц, то вторая сравнительно невелика: всего 49 страниц.

Как и многие другие недавние результаты, полученные с помощью ИИ, обе статьи «написаны ужасно (настолько, что любой математический журнал немедленно отклонил бы их)», сообщил Радзивилл в электронном письме. «По качеству изложения и ясности они очень сильно не дотягивают до стандартов, принятых в нашей области». Поэтому математики пока отложили 199-страничную работу с результатом 7/8 и сосредоточились на доказательстве с результатом 11/12, которое, по‑видимому, использует аналогичные методы и имеет сходные последствия. «Причина, по которой люди в основном изучают результат 11/12, заключается в том, что эта работа короче», — пояснил Радзивилл.

Что интересно, результат с границей 11/12 оказался единственной из 722 работ OpenAI, опубликованных 6 октября, которую редактировал человек. OpenAI не ответила на запросы о том, кто был этим человеком и почему только эта статья получила преимущество в виде участия специалиста до публикации. В ответ на вопросы Quanta компания заявила: «Эта статья стала результатом работы всех сотрудников OpenAI».

В течение двух недель после публикации математики интенсивно изучали статью. Питер Сарнак, известный специалист по теории чисел из Принстонского университета, решил изменить содержание курса, который он преподаёт в этом семестре, чтобы посвятить его изучению доказательства. Радзивилл говорит, что теперь может изложить основные аргументы доказательства на половине страницы, тогда как более подробные разборы других математиков занимают от семи до тринадцати страниц. (На момент написания статьи эти разборы ещё не опубликованы, но распространяются в частном порядке.) Специалисты в целом согласны с тем, что результат верен, а его новизна заключается в объединении идей теории чисел, известных уже довольно давно.

На протяжении десятилетий Сарнак утверждал, что математикам следует подходить к гипотезе Римана, рассматривая дзета‑функцию лишь как один из элементов более широкого семейства функций, а затем доказывать утверждения, относящиеся ко всему этому семейству. «Однако было неясно, как именно это сделать и какое семейство следует рассматривать», — сказал Майкл Рубинштейн из Университета Ватерлоо.

Как выяснилось, интуиция Сарнака была верной. Однако семейство, которое обнаружила модель OpenAI, прежде оставалось без внимания. Математик Генрик Иванец из Ратгерского университета был близок к его обнаружению ещё в 2002 году, когда в попытке доказать гипотезу Римана выделил несколько тесно связанных с ним семейств.

Для обнаружения нужного семейства потребовались малоизвестные математические объекты, называемые метаплектическими формами, изучению которых Данн посвятил последние пять лет. «Никто этого не ожидал», — сказал он. До сих пор метаплектические формы сравнительно редко использовались в теории чисел, добавил он, «поэтому я надеюсь, что эта прекрасная и эзотерическая теория получит заслуженное внимание».

К удивлению Данна и Радзивилла, формула, которую они доказали в 2021 году, стала одним из ключевых элементов нового доказательства (наряду с результатами многочисленных других математиков). Оглядываясь назад, Радзивилл признал, что специалисты, работающие в том разделе теории чисел, к которому относятся все эти исследования, ошибались, считая свои инструменты недостаточно мощными для доказательства квазигипотезы Римана. Они были убеждены, что для её доказательства потребуются методы из совершенно другого раздела теории чисел. «Убеждённость» модели ИИ в том, что имеющихся у них инструментов может оказаться достаточно, стала принципиально важным новым взглядом на проблему. «Это было довольно смелое предположение!» — сказал Радзивилл.

Работа OpenAI вызывает у математиков одновременно досаду и воодушевление. Сарнак, со своей стороны, сообщил в электронном письме, что не будет удовлетворён признанием результата «теоремой», пока люди не проверят и не поймут все детали доказательства. Однако, по словам Радзивилла, «общее настроение — облегчение». Существуют десятки результатов не только в теории чисел, но и в геометрии и теоретической информатике, которые благодаря доказательствам квазигипотезы Римана одним махом получат статус математических истин.

Специалисты по теории чисел сомневаются, что конкретное сочетание методов, использованное в новом доказательстве, позволит снизить границу с 7/8 до столь желанной 1/2. «Мне кажется наиболее вероятным, что даже после того, как математики полностью освоят новые методы и разберутся во всех их следствиях, мы по‑прежнему будем ощущать себя столь же далёкими от доказательства полной гипотезы Римана, как и прежде», — сказал Уилл Савин из Принстонского университета. «Но я в этом не уверен».

Томас Блум, математик из Манчестерского университета, согласился с тем, что полная гипотеза Римана по‑прежнему кажется недосягаемой. Однако он добавил: «Но ведь всего несколько недель назад мы сказали бы то же самое о квазигипотезе Римана! Теперь меня уже ничто не удивит».

Если эта публикация вас вдохновила и вы хотите поддержать автора — не стесняйтесь нажать на кнопку