מי אתן, משוואות נאוויה-סטוקס, שהטריפו את עולם ה-AI השבוע?
המודל הסודי של OpenAI פתר בעיית מילניום ב-88 שעות, ועורר סערה שלמה על זכויות וקרדיט. אבל מי אתן, משוואות נאוויה-סטוקס?
תמונה: OpenAI, עיבוד תמונה
מאת: עומר עזרן ויהונתן ברקהיים
חברת OpenAI טענה השבוע שאחד ממודלי הבינה המלאכותית שלה הצליח לפתור את בעיית הקיום והחלקות של משוואות נאוויה-סטוקס (Navier-Stokes) – בעיה אשר העסיקה מתמטיקאים, פיזיקאים ומהנדסים ללא הרף מאז ניסוחה לפני כ-200 שנה. המשוואות מתארות זרימה של נוזלים וגזים, ומסייעות לתאר בעיות מורכבות כמו זרימת דם בעורקים, תנועת אוויר מסביב לכנפי מטוס או חיזוי של התקדמות סערות וסופות הוריקן.
מי אתן, משוואות נאוויה-סטוקס?
משוואות נאוויה-סטוקס מתארות את התנועה של זורמים – כלומר, נוזלים וגזים – במרחב ובזמן. המשוואות מבוססות על חוק שימור המסה ועל החוק השני של ניוטון, שנחשבות למושכלות יסוד בפיזיקה הקלאסית, אך מכניסות לתמונה גם את הצמיגות, כלומר כוחות החיכוך בין שכבות הזורם. המשוואות מדמות מעין תחרות בין הצמיגות לבין הלחץ שהזורם מפעיל כאשר הוא נע מאזור המתאפיין בלחץ גבוה לאזור המתאפיין בלחץ נמוך יותר, ואפשר להוסיף לכך גם כוחות חיצוניים כמו כבידה וציפה. המשוואות עובדות היטב במבחן המציאות, ותחת הנחות ומשוואות משלימות המפשטות אותן, ניתן לפתור אותן באופן מקורב המתאר במדויק את הזרימה בסיטואציה נתונה. למשל, ניתן לחזות מה יקרה לנוזל העובר דרך צינור שעליו מופעל הפרש לחצים בנקודת זמן עתידית כלשהי.
אלא שלמרות חשיבותן, כאמור, המשוואות עצמן הן לא הסיפור הגדול. מה שטרד הרבה יותר את מנוחתם של המתמטיקאים הוא שאלה בסיסית: טרם הוכח שקיים למשוואות הללו פתרון בכל סיטואציה כללית, או שהפתרונות נותרים סופיים וחלקים – כלומר, שמהירות הזורם אינה גדלה עד אינסוף ואינה מפתחת אי-רציפויות – וזאת גם אם מניחים תנאי התחלה חלקים וסדירים.
וכך קרה, שהבעיה הזו, בעיית הקיום והחלקות של משוואות נאוויה-סטוקס, זכתה בשנת 2000 למעמד-על כאשר נמנתה עם “שבע בעיות המילניום” של מכון קליי (Clay) למתמטיקה, מכון מחקר פרטי העוסק בקידום הידע המתמטי והפצתו. שבע בעיות המילניום הן הגרסה המודרנית ל-23 הבעיות של הילברט אשר נוסחו במפנה המאה העשרים, ובעד פתרון כשר של כל אחת מהן – שיכול לבטא הוכחה או הפרכה של הבעיה – הובטח לזוכים סכום חלומי של מיליון דולר.
לטענת OpenAI, הבינה המלאכותית הצליחה לפתור את הבעיה תוך פרק זמן של 88 שעות ובעזרת 10,000 סוכני AI, שפעלו בו זמנית. הסוכנים פועלים באופן מסונכרן ועצמאי כדי להשיג מטרות ויעדים שהוגדרו סביב ביצוע משימה פשוטה או תגובה לשאילתה. מערכות סוכן יכולות לעיתים קרובות ליזום פעולות, כמו הבינה המלאכותית של שירות לקוחות, ששולחת שאילתה למוביל כדי לשאול על עיכובים במשלוח. עוד הוסיפה חברת OpenAI כי הפתרון המוצע נכתב על ידי מודל פנימי חדש ועלום-שם, שתואר כחזק יותר מהמודל GPT-6 Astra, אשר בעצמו כבר עורר הדים לאור עוצמתו הצפויה.
מבלי להיכנס למתמטיקה הכבדה, הפתרון המוצע מפריך את ההשערה שנוסחה במסגרת הבעיה של מכון קליי. גם אם הדינמיקה מתחילה מתנאים חלקים וסדירים, עשויה בהחלט להתפתח בתוך פרק זמן סופי נקודה שבה מהירות הזורם גדלה ללא גבול. מבחינה ויזואלית, ניתן לחשוב על תנועת הזורם במקרה הזה כמעין מערבולת שהולכת ומתכווצת ובמקביל מסתובבת מהר יותר ויותר, עד שלאחר פרק זמן מסוים המהירות במרכזה נעשית אינסופית.
היסטוריה של זרימה
ברבות השנים נקראו המשוואות על שם הצרפתי והבריטי גם יחד. נאוויה (משמאל) וסטוקס | ויקימדיה, Smithsonian Institution
כבר בשלהי המאה ה-17 הניח ניוטון את הבסיס לתיאור הדינמיקה של נוזלים וגזים, המכונים בפשטות “זורמים”; המשיכו את דרכו ז’אן לה רון ד’אלמבר (D’Alembert), שניסח מתמטית את תנועתם של זורמים אידיאליים, כאלה שאינם צמיגים, וכן לאונרד אוילר (Euler), המתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה, שתיאר אף הוא זורמים בלתי צמיגים בהתבסס על חוקי ניוטון.
קלוד-לואי נאוויה (Navier) נולד בצרפת, בנו של עורך דין שכיהן כחבר האסיפה הלאומית בתקופת המהפכה הצרפתית. אביו נפטר בהיותו ילד, והוא עבר לגור אצל הדוד של אמו, שהיה מהנדס אזרחי. מכאן קצרה הדרך עד שהפך לסטודנט במוסד היוקרתי אקול פוליטכניק, שם הושפע עד מאוד מהמתמטיקאי הדגול, ז’אן-בטיסט ז’וזף פורייה (Fourier), שהיה מורו ובהמשך חברו. נאוויה התפרסם כפיזיקאי שעוסק בחקר חוזק החומרים והאלסטיות מזווית יישומית גרידא – הנדסה של גשרים ותעלות. ב-1821 הוא ניסה לנסח הכללה של משוואת אוילר למקרה שבו הנוזל הוא בלתי דחיס, ובשנה שלאחר מכן הכליל אותה עוד יותר, לנוזלים צמיגים. במבט לאחור ברור שנאוויה לא הבין לחלוטין את הפיזיקה שמאחורי המשוואה שנקראה לימים על שמו, אך כשרונו היה ברישום האינטואיטיבי של משוואות שהפכו לאבן הראשה של מכניקת הזורמים.
נאוויה נפטר כ-15 שנה לאחר מכן, ולא זכה לראות כיצד המשוואות שניסח מקבלות בסיס מתמטי איתן. את הבסיס העניק להן ג’ורג’ סטוקס (Stokes), שנולד באירלנד כבנו הצעיר של כומר פרוטסטנטי. לאחר מסלול לימודים מטאורי בבריסטול ובקיימברידג’, הוא החל לחקור תנועת זורמים בלתי דחיסים. בראשית שנות ה-40 של המאה ה-19 פרסם מאמרים ראשונים בתחום, והחל לכלול בפיתוחיו גם צמיגות, מנקודת מבט מדעית שונה מזו בה נקט נאוויה. והנה, כאשר השלים את ניסוחן של המשוואות המושלות בתנועתם של זורמים אלה, גילה כי בעצם המשוואות כבר נוסחו עשרים שנה טרם זמנו.
לא די בכך שנאוויה הקדים אותו בעשרים שנים תמימות, אלא גם המתמטיקאי סימאון דני פואסון (Poisson), שרשם תרומות כבירות בתחומים אחרים של הפיזיקה, עסק בבעיה לא מעט והגיע לתוצאות דומות. זה לא מנע מסטוקס לפרסם את התוצאות והפיתוחים הסיזיפיים ב-1845, וברבות השנים נקראו המשוואות על שם הצרפתי והבריטי גם יחד.
עוד דברים מעניינים:
הסוף של משימת נוגה ואנרגיה של ראשית החיים: השבוע בחלל
מכונה אחרי אדם?
מאבקי הכוחות אינם רק בין הצמיגות ללחץ, אלא גם בין הבינה האנושית לזו המלאכותית. לאחר הודעת החברה, המתמטיקאי טריסטן באקמאסטר (Buckmaster) מאוניברסיטת ניו יורק טען כי OpenAI האיצה את עבודתה על המשוואות לאחר ששמעה שבאקמאסטר ושותפו, מתמטיקאי טורקי-אמריקאי בשם לבנט אלפרגה (Alpöge) מחברת אנת’רופיק המתחרה, שפיתחה את מנוע Claude, קרובים לפתרון הבעיה ועשויים לפרסם את פתרונם בקרוב. 12 שעות בלבד לפני ש-OpenAI פרסמה את הפתרון שלה, באקמאסטר ואלפרגה פרסמו שהם עוסקים בפתרון בעיות רבות במתמטיקה באמצעות בינה מלאכותית.
באקמאסטר הופתע במיוחד מהכיוון המתמטי בו ניגשה OpenAI לבעיה, כיוון יצירתי ולא מוכר במיוחד: כמעט איש מהחוקרים שהכיר לא נקט בו, טען באקמאסטר, מלבד הוא עצמו ושותפו אלפרגה. התמונה האמיתית מעט יותר מורכבת – העבודה שלהם נשענה ברובה על עבודה קודמת, של המתמטיקאים דייגו קורדובה ולואיס מרטינז זורואה. אם תשאלו את OpenAI, הם אומרים להגנתם שהסוכנים כלל לא ידעו על המחקר של באקמאסטר ואלפרגה, ורק לאחר שהעבודה המחקרית הושלמה הם פנו לשני החוקרים. אז התברר להם, הם אומרים, שהמתמטיקאים הללו בכלל עבדו על בעיית הקיום והחלקות של משוואות אחרות במכניקת זורמים, שנקראות משוואות אוילר. עם זאת, הפרטים המדויקים ולוחות הזמנים של חילופי הדברים בין הצדדים אינם ברורים לחלוטין.
חברת OpenAI הודתה שגונבה לאוזניה שמועה לפיה מדענים הצליחו לפתור את הבעיה, מה שדרבן אותם להשקיע משאבים אדירים ולהפעיל מערכת ענקית של סוכני בינה מלאכותית שתשקוד על פתרון הבעיה. באקמאסטר ציין, מצדו, כי עבודתו אוחסנה בשרתי חברת OpenAI לצד שרתי אנת’רופיק, וזו לא פסלה שיתכן שהמידע שימש את מנועי החברה לפתרון הבעיה. החברה פרסמה הצהרה בה נכתב: “למרות שהדבר לא סביר, איננו יכולים לשלול שנתונים אנונימיים שמקורם בשימוש במוצרים שלנו סייעו בשיפור המודלים שלנו”.
העלילה התפתלה עוד יותר כאשר באקמסטר טען שקיבל הצעה מסבסטיאן בובק (Bubek), עובד של חברת OpenAI, לפרסם את הפתרון עם קרדיט על שמו, ללא מתן קרדיט לשותפו מחברת אנת’רופיק – טענות שדחתה החברה ברשתות החברתיות.
הרבה יותר מפתרון של בעיה
ההתפתחות המסחררת של הבינה המלאכותית מעוררת מחשבות עמוקות, אולי אפילו קיומיות, בקרב מדענים ושוחרי המדע הבסיסי. מצד אחד, מובן מאליו כי מדובר בכלי רב עוצמה שיסייע למחקר המודרני לנסוק לגבהים חדשים; מצד שני, אם הבינה תעשה הכל בשביל החוקרים, מה כבר יישאר להם לעשות? גם מבלי לענות על השאלה הזו במישרין, ברור כי קרקעות יציבות כמו “מחקר”, “חשיבה” ו”יצירתיות”, שעליהן נשען המדע כמעט מאז ומעולם, הולכות להתערער, אולי להפוך לנוזליות לחלוטין, עד שיהיה ניתן לתאר אותן באמצעות משוואות נאוויה-סטוקס.
בעיות פתוחות שהעסיקו את המדע במשך עשרות ואולי מאות בשנים, ועליהן התבססו קריירות שלמות, עבודות דוקטורט, נימוקים לעיטורים ופרסים בינלאומיים, מאמרים וספרים, ציטוטים וקורסים – אולי כל הקורפוס הזה יהפוך ללא יותר מהערת שוליים, שתחוויר למול פרומפט שבצדו תשובה מיידית. בעולם כזה, מה יעלה בגורלה של המחשבה האנושית הטהורה? האם בכלל יהיה לה מקום בהתפתחות המדעית? ואולי הפרופסורים חמורי הסבר יהפכו רק למעריכי ידע שיוודאו שהבינה לא מפיקה מרגליות מזויפות?
המתמטיקאי האוסטרלי טרנס טאו (Tao), חתן מדליית פילדס, נתן על כך את דעתו כאשר בתזמון בלתי רגיל אמר כמה ימים לפני הפרסום: “ברוב המקרים במתמטיקה טהורה, הבעיות אינן ניצבות לפתחנו משום שאנו זקוקים נואשות לפתרון שלהן כשלעצמו, אלא משום שניסיון העבר לימד אותנו שמאמצים אנושיים מכוונים לפתרון בעיות כאלה נוטים לעודד התפתחות נוספת של התחום, הן באמצעות עצם הניסיון לפתור אותן והן באמצעות עיבוד והעמקה בתובנות שנובעות מפתרונות חלקיים או מלאים. פתרון מוקדם של הבעיה באמצעות שיטות המבוססות אך ורק על בינה מלאכותית, במיוחד ללא שקיפות מלאה לגבי תהליך הפתרון, עלול לזהם את התהליך הזה עד כדי כך שבפועל הוא יהפוך לשלילי מבחינת התקדמותה של המתמטיקה כולה”.
לפני מאתיים שנה ביקשו שני מתמטיקאים מעבריה של תעלת למאנש – קלוד-לואי נאוויה הצרפתי וג’ורג’ סטוקס הבריטי – להבין כיצד זורמים נעים. מאז הפכו המשוואות הנקראות על שמם לאחד מעמודי התווך של הפיזיקה והמתמטיקה. אם ההוכחה של OpenAI תתברר כנכונה, הרי שאנו ניצבים בפתחו של שינוי שגדול בהרבה מפתרון נקודתי לבעיה פתוחה; שינוי שעתיד לזמן לאנושות מבחנים גדולים בתחומי הפילוסופיה והאתיקה של המדע, ובדרך בה נחשוב ונפתור בעיות.
KioskNews shows a cleaned-up reading view extracted from the publisher’s page — the original always lives on their site, not ours.