Что важно при обучении, а что нет

Я математик по образованию (МФТИ и аспер МГУ), занимаюсь педагогикой, работаю репетитором, ранее 20 лет в ИТ разработчиком. В течение последних лет, занимаясь математикой со своими учениками, а также работая над методологией занятий с младшими и средними школьниками (развитие системного мышления), я окончательно убедился в том, что важно, а что нет при развитии и, соответственно, в обучении:

1. Каждый предмет (область знаний) — это всего лишь материал для вашей тренировки. Отсюда следует: важен процесс изучения, а не конечное знание математики, например. Т.е. нужно не учить математику, а учить математикой.

2. Каждый предмет (область знаний) имеет свою структуру, определённую историей своего развития. Условно разделим математику и гуманитарное знание. В чём отличие? В математике выше переиспользуемость. Значит, значение её инструментария выше. А в гуманитарном знании оно ниже — применение инструментов даёт меньше, многое зависит от деталей ситуации. Отсюда следует (с учётом пункта 1): для математики — выделяйте инструменты при решении; для гуманитарного знания — не буду здесь писать, а то будет длинно и мысль утеряется.

3. Как при изучении математики выделять инструменты? Их выделение определит эффективность развития (см. п. 1). Для выделения их нужно заметить извне и изучить изнутри.

4. Как при изучении математики формировать представление об инструментах «извне»? Ответ: в каждой задаче явно формулировать, какой именно инструмент был использован на каждом шаге решения. Избавляться от «магических» превращений, заменяя их осознанием того, какой именно инструмент был применён. Этим я занимаюсь на ежедневных занятиях со своими учениками. Это привычка задавать себе такой вопрос. А если ответ не находится, то спросить у меня.

5. Как при изучении математики изучать внутреннее устройство математического инструмента (формула, теорема, правила и т. д.): при каждом использовании при решении задачи привить себе привычку задавать вопрос — «А могу прямо сейчас доказать?». Если да, то можно решать задачу далее; если нет, то попытаться вывести, а если не получается, то спросить у учителя. Это даёт «доказательство из контекста задачи».

6. А если ранее доказывали, но сейчас забыли? Радоваться. Ваша память предоставила вам возможность на материале этого инструмента ещё раз улучшить ваши способности.