Великая теорема Ферма в картинках: эллиптические кривые, кривые Фрея, теория Ивасавы и когомологии

В одной из предыдущих статей мы сделали гипотезу Пуанкаре в картинках.

В этой статье мы сделаем компьютерную визуализацию основных шагов и ключевых идей доказательства Великой теоремы Ферма, предложенного английским математиком Эндрю Уайлсом в 1995 году.

Формулировка Великой теоремы Ферма очень лаконична:

Теорема утверждает, что для любого натурального числа n>2 уравнение

a^n+b^n=c^n не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c

Источник:[1]

.Она имеет очень богатую историю: была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году в следующем виде

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Источник:[1]

Далее пошли попытки многих профессиональных математиков и любителей-ферматистов найти это простое доказательство, поскольку в рукописях самого Ферма оно не было найдено (он доказал только случай n=4).Данная теорема стоит на первом месте по количеству предложенных некорректных доказательств.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n=3, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для n=5, Ламе — для n=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Источник:[1]

И только лишь в 1995 году после семи лет непрерывной и кропотливой работы в практически полной изоляции британский математик Эндрю Уайлс опубликовал свой 130-страничный труд (источник 2) в журнале «Annals of Mathematics» , завершающий доказательство гипотезы Таниямы Симуры, из которой следует Великая теорема Ферма (первоначальная версия работы была представлена в 1993 году, но содержала ошибку. Затем Уайлс с Тейлором её докрутили, и исправленная версия прошла рецензирование).

В этой статье мы подробно и построчно разбирать это длинное доказательство (оно крайне сложное и его (как и доказательство гипотезы Пуанкаре) может в полной мере понять и осмыслить во всём мире не более 1000 человек) , конечно, не будем ( это работа для профессионалов), а вместо этого на любительском уровне постараемся выделить ключевые шаги и аспекты его упрощённой версии, опубликованной здесь.

1 шаг:

Мы начнем с предположения (ради противоречия), что Последняя теорема Ферма неверна. Это означало бы, что существует по крайней мере одно ненулевое решение (a,b,c,n)(со всеми числами рациональными и n>2 и простыми) для 

a^n+b^n=c^n.

Источник: [4], перевод с английского.

2 шаг:

Теорема Рибета (с использованием работ Фрея и Серра) показывает, что с помощью решения (a,b,c,n) мы можем создать полустабильную эллиптическую кривую Фрея E

,которая никогда не будет модулярной.

Источник: [4], перевод с английского.

3 шаг:

Прежде всего Уайлс стремится доказать результат об этих представлениях, который он будет использовать позже: если полустабильная эллиптическая кривая E имеет представление Галуа ρ(E,p), которое является модулярным, то сама эллиптическая кривая должна быть модулярной.

Доказательство этого полезно по двум причинам: оно упрощает подсчет и сопоставление, и, что немаловажно, чтобы доказать, что представление является модулярным, нам нужно доказать это только для одного простого числа p

, а это можно сделать, используя любое простое число, что упрощает нашу задачу — не имеет значения, какое простое число мы используем.

Источник: [4], перевод с английского.

4 шаг:

Первоначальная стратегия Уайлса заключалась в подсчёте и сопоставлении с использованием доказательства по индукции и формулы числа классов (CNF): подход, при котором, если гипотеза доказана для одной эллиптической кривой, она автоматически распространяется на все последующие эллиптические кривые. Именно в этой области Уайлс столкнулся с трудностями, сначала с горизонтальной теорией Ивасавы, а затем с ее расширением, предложенным Коливагиным–Флэчем.

Источник: [4], перевод с английского.

5 шаг:

На этом этапе доказательство демонстрирует ключевую особенность представлений Галуа: Если геометрическое представление Галуа ρ(E,p) полустабильной эллиптической кривой E неприводимо и является модулярным (для некоторого простого числа p>2), то при соблюдении некоторых технических условий E является модулярным. Это теорема Уайлса о поднятии (или теорема о поднятии модулярности), крупное и революционное достижение того времени.

Источник: [4], перевод с английского.

6 шаг:

Доказав теорему о поднятии, мы возвращаемся к исходной задаче. Мы разделим все полустабильные эллиптические кривые на категории в зависимости от приводимости их представлений Галуа и применим к полученным результатам мощную теорему о поднятии.

Как видно из вышесказанного, не имеет значения, какое простое число выбрано для представлений. Мы можем использовать любое простое число, с которым проще всего работать. 3 — наименьшее простое число, большее 2, и уже была проделана определенная работа по представлениям эллиптических кривых с использованием ρ(E,3), поэтому выбор 3 в качестве простого числа — хорошая отправная точка. Уайлс обнаружил, что было легче доказать, что представление было модульным, выбрав p=3в случаях, когда представление ρ(E,3) неприводимо, но доказательство, когда ρ(E,3) приводимо, было легче доказать, выбрав вместо этого p=5. Итак, на этом этапе доказательство разделяется надвое.

Источник: [4], перевод с английского.

7 шаг:

Если представление Галуа ρ(E,3)  (т. е. с использованием p=3) неприводимо, то примерно с 1980 года было известно, что его представление Галуа также всегда является модулярным. Уайлс использует свою теорему о поднятии модулярности, чтобы быстро разобраться с этим случаем:

• Если представление ρ(E,3)

   неприводимо, то мы знаем, что оно также является модулярным (Лэнгленд и Таннелл), но...

• ... если представление одновременно неприводимо и модулярно, то E само является модулярным (теорема о поднятии модулярности).

  Лэнглендс и Таннелл доказали это в двух статьях в начале 1980-х годов.

  Источник: [4], перевод с английского.

8 шаг:

Теперь рассмотрим, что происходит, если ρ(E,3)приводимо.Уайлс обнаружил, что, когда представление эллиптической кривой с помощью p=3 приводимо, проще работать с p=5 и использовать его новую теорему о поднятии, чтобы доказать, что ρ(E,5) всегда будет модулярной функцией, чем пытаться напрямую доказать, что ρ(E,3) сама по себе является модулярной функцией (вспомним, что нам нужно доказать это только для одного простого числа).

Источник: [4], перевод с английского.

шаг 8.1:

Если ρ(E,3) и ρ(E,5) оба являются приводимыми, Уайлс доказал, что ρ(E,5) должно быть модулярным.

Источник: [4], перевод с английского.

шаг 8.2:

Последний случай: ρ(E,3) приводимо, а ρ(E,5)неприводимо. Уайлс показал, что в этом случае всегда можно найти другую полустабильную эллиптическую кривую F такую, что представление ρ(F,3) неприводимо, а также что представления ρ(E,5) и ρ(F,5) изоморфны (имеют идентичную структуру).Первое из этих свойств показывает, что F должно быть модулярным (снова Лэнглендс и Таннелл: все неприводимые представления с p=3 являются модулярными). Если F является модулярным, то мы знаем, что ρ(F,5) тоже должно быть модулярным.

Источник: [4], перевод с английского.

шаг 8.3:

Таким образом, если ρ(E,3) приводима, то мы доказали, что ρ(E,5) всегда будет модулярной группой. Но если ρ(E,5) является модулярной группой, то теорема о поднятии модулярности показывает, что E сама является модулярной группой.

Источник: [4], перевод с английского.

9 этап:

Теперь мы доказали, что независимо от того, является ли ρ(E,3) неприводимой, E (которой может быть любая полустабильная эллиптическая кривая) всегда будет модулярной. Это означает, что все полустабильные эллиптические кривые должны быть модулярными.Это доказывает

(а) гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля для полустабильных эллиптических кривых и

(б) поскольку противоречия быть не может, это также доказывает, что эллиптические кривые, описанные Фреем, на самом деле существовать не могут. Следовательно, не может существовать и решений уравнения Ферма.

Источник: [4], перевод с английского.

Также сделаем иллюстрации важнейших элементов доказательства:

Группы когомологий:

Алгебры Гекке:

Кольца Горенштейна (симметричность ряда Гильберта в случае градуированности — это проявление его самодвойственности.):

 группы Сельмера :

Стоит отметить, что за доказательство данной теоремы Эндрю Уайлс был высоко награждён:

он получил премию Абеля (самая престижная премия по математике, её размер сравним с Нобелевской) и рыцарское звание.

Вывод: Таким образом, в этой статье мы вкратце и в картинках, понятных простому обывателю-любителю визуализировали упрощённую схему доказательства Великой теоремы Ферма.

Данная статья является отличным учебным примером того, как можно визуализировать очень абстрактные и сложные для восприятия математические конструкции, и объяснять наглядно сложные теоремы.

Статья носит чисто демонстрационный и научно-популярный характер.

Автор не имеет специального физико-математического образования и не является профессиональным математиком!

Если такое дадут на ЕГЭ это будет крах всей системы, я реально занервничал!

Литература:

1.https://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма

2.https://annals.math.princeton.edu/1995/141-3/p01

3.https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_модулярности

4.https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles's_proof_of_Fermat's_Last_Theorem