Почему у Audio CD ровно 44 100 Гц: дело не в Найквисте, а в видеокассете

Если вы хоть раз экспортировали трек из аудиоредактора, копались в настройках звуковой карты или писали код, который что-нибудь проигрывает, вы видели число 44 100. Оно стоит по умолчанию почти везде, в конфиге его набираешь на автомате, как пин-код от своей карты, и вопросов оно обычно не вызывает, потому что объяснение к нему все помнят еще со времен лабораторных по цифровой обработке сигналов.

Я тоже много лет жила с этим объяснением и считала вопрос закрытым, пока не попробовала пересказать его вслух и не споткнулась на последнем шаге: откуда взялись именно эти сто герц сверху? Почему не ровно 44 000, почему не 45 000, почему не 48 000, как у студийного видео? Спойлер для тех, кто не любит интригу, уже вынесен в заголовок, а остальным предлагаю пройти тот же путь, что прошла я, от учебника через подозрительную арифметику к телевизионной развертке, которая до сих пор сидит в каждом компакт-диске и в огромной части музыки на стримингах.

Что говорит учебник

Классическое объяснение выглядит так: теорема Котельникова (она же теорема Найквиста–Шеннона для остального мира) говорит, что сигнал с полосой до F можно восстановить без потерь, если брать отсчеты чаще, чем 2F раз в секунду. Человек слышит примерно до 20 кГц, и то в молодости и при хорошем раскладе, значит, частота дискретизации должна быть больше 40 кГц.

Дальше учебник вспоминает, что перед АЦП нужен фильтр, который вырежет все выше половины частоты дискретизации, иначе оно завернется обратно в слышимый диапазон в виде алиасинга. Идеального фильтра, который пропускает 20 000 Гц и полностью давит 20 001 Гц, в природе нет, поэтому между полосой пропускания и частотой Найквиста нужен зазор, в котором фильтр успеет спуститься с нуля децибел до уровня шума. При 44 100 Гц частота Найквиста равна 22 050 Гц, зазор получается 2 050 Гц, то есть около десяти процентов от полосы, и на этом месте учебник с чувством выполненного долга обычно заканчивается.

Но если присмотреться, это рассуждение дает только нижнюю границу: больше 40 кГц и с каким-нибудь запасом. Под него одинаково хорошо подходят 44 000, 44 800, 45 000 или 46 000, и ничего в нем не объясняет, почему запас должен быть ровно 2 050 Гц. Фильтр с зазором в 2 000 Гц ничем принципиально не отличается от фильтра с зазором в 2 050, зато число 44 000 и записывать, и запоминать гораздо приятнее. Значит, кто-то просто ткнул пальцем в небо у лишних ста герц должна быть отдельная причина, и я пошла ее искать.

Подозрительно круглое число

Первое, что я сделала, это разложила 44 100 на простые множители (ну а что еще делать с подозрительным числом, правда?). Получилось вот что:

И это очень красивый результат, потому что перед нами квадрат произведения первых четырех простых чисел. У такого числа 81 делитель, оно делится на все от 1 до 10, кроме восьмерки, и в голову сразу лезет гипотеза, что инженеры выбирали частоту ради удобной делимости: на таймеры, на тактовые генераторы, на кратные частоты для передискретизации.

Я потратила на эту версию какое-то время и в итоге от нее отказалась. Делимость на 49 ничего полезного электронике не дает, а делимость на 8 и 16, которая как раз пригодилась бы двоичным делителям частоты, у 44 100 отсутствует. Кроме того, если бы кто-то подбирал число ради удобства, он бы в первую очередь позаботился о дружбе с соседними стандартами, а 44 100 относится к 48 000 как 147 к 160, и ресемплинг между ними до сих пор требует довольно неприятной арифметики.

Так что гипотеза про изящную делимость отправилась в корзину, но само разложение я запомнила. Семерка в квадрате выглядит как отпечаток пальца: где-то в исходных данных, из которых получилось это число, сидит 49 или что-то кратное ему, и если найти это место, найдется и ответ.

Video Killed the Radio Star

Чтобы понять, откуда в стандарте берутся конкретные числа, полезно представить, в какой обстановке его придумывали. Конец семидесятых, звук уже умеют оцифровывать с приличным качеством, но цифру совершенно негде хранить. Посчитаем, сколько данных дает стерео с параметрами CD:

Это примерно 176 килобайт в секунду, 10,6 мегабайта в минуту и около 635 мегабайт в час, причем без коррекции ошибок, которую в реальном носителе придется добавить сверху. Жесткие диски того времени, насколько я понимаю, были шкафами, которые стояли в машинных залах и стоили соответственно, так что держать на них часы музыки никто всерьез не планировал.

Обычный магнитофон тоже не спасает, потому что аналоговая звуковая дорожка рассчитана на полосу порядка 20 кГц, а 16-битному PCM-потоку нужна аналоговая полоса около 1–1,5 МГц, то есть в пятьдесят с лишним раз больше. Можно пойти в лоб, гнать ленту быстрее, сузить зазор головок и размазать данные по куче параллельных дорожек, и такие цифровые магнитофоны со стационарной головкой действительно появились, но это была дорогая студийная техника.

И тут японские инженеры посмотрели по сторонам и заметили, что у них уже есть массовое, дешевое и хорошо отлаженное устройство, которое пишет на ленту сигнал с полосой в несколько мегагерц, причем вращающимися головками, которые как раз решают проблему скорости. Это видеомагнитофон, и нужно всего лишь убедить его, что ему подают телевизионную картинку.

Так появились PCM-адаптеры. Представьте, да, коробку, которая берет цифровой звук, раскладывает биты по строкам телевизионного кадра в виде черных и белых точек, добавляет строчные и кадровые синхроимпульсы и отдает на выход самый обычный видеосигнал. Видеомагнитофон пишет его как кино, а при воспроизведении адаптер ловит строки, считывает из них точки и собирает звук обратно. Если вывести такую запись на телевизор, на экране будет дрожащая черно-белая шахматка, похожая на помехи, внутри которой на самом деле едет музыка.

У Sony первым таким устройством стал PCM-1 в 1977 году, в 1979 появился студийный PCM-1600, который работал в паре со специально доработанными видеомагнитофонами U-matic, а в начале восьмидесятых вышел PCM-F1, подключавшийся к домашнему Betamax. Кстати, доработки у студийных U-matic были очень показательные: в них отключали обработку цветности и компенсатор выпадений, которые рассчитаны на картинку и только портили бы данные, и переносили момент переключения видеоголовок в кадровый гасящий интервал, чтобы грязь от переключения не попадала на строки со звуком.

Считаем строки

Теперь самое интригующее, и для него придется вспомнить устройство телевизионного кадра. Кадр состоит из строк, и развертка рисует их через одну: сначала нечетные, потом четные, и каждая такая половина кадра называется полем. В американском NTSC в кадре 525 строк и 30 кадров в секунду, то есть 60 полей по 262,5 строки. В европейском PAL 625 строк и 25 кадров, то есть 50 полей по 312,5 строки.

Записать звук на все строки поля нельзя, потому что часть из них занята кадровым гасящим интервалом с синхроимпульсами, а заодно туда же, как мы помним, переехало переключение видеоголовок. В формате, который описан еще в заметке Мартина Уиллкокса в JAES за июль 1978 года, из поля NTSC под данные берут 245 строк, из поля PAL 294, и в каждую строку кладут по три отсчета на канал, то есть шесть слов на стерео плюс слова коррекции ошибок и контрольную сумму CRC. Смотрим:

60 × 245 = 14 700 строк в секунду, и 50 × 294 тоже дает 14 700 строк в секунду. Обе системы отдают под звук ровно одинаковое число строк в секунду, и после умножения на три отсчета получается одна и та же частота, 44 100 Гц, которая одинаково ложится и на американскую, и на европейскую видеотехнику. Одна частота на весь мир, одна и та же запись, которую можно сделать в Токио и смонтировать в Лондоне, и именно ради этого число строк подбирали так хитро.

Но давайте все-таки вернемся к отпечатку пальца. 245 = 5 × 7², 60 = 2² × 3 × 5, и вместе с тройкой отсчетов получается 2² × 3² × 5² × 7², ровно тот набор множителей, который меня так впечатлил. С PAL то же самое: 294 = 2 × 3 × 7², 50 = 2 × 5², плюс тройка, и снова те же самые квадраты. Красивое 210² оказалось побочным эффектом телевизионной арифметики, а семерка в квадрате приехала к нам из числа строк.

Но расивое совпадение еще не доказательство, поэтому мне захотелось проверить, насколько вообще уникально число 44 100 в этой системе ограничений. Если частота должна одинаково получаться в обоих стандартах целым числом строк, то вариантов на самом деле немного, и их проще перебрать, чем придумывать. Я написала десяток строк на питоне:

# ищем частоты, которые одинаково получаются в NTSC (60 полей) и PAL (50 полей)
for k in range(1, 6):                  # отсчетов на канал в одной строке
    for n in range(1, 263):            # строк с данными в поле NTSC (всего 262,5)
        rate = 60 * n * k
        if rate % (50 * k):            # в PAL должно выйти целое число строк
            continue
        p = rate // (50 * k)           # строк с данными в поле PAL (всего 312,5)
        if p <= 312 and 40_000 <= rate <= 50_000:
            print(f"k={k}  NTSC {n:3d} стр.  PAL {p:3d} стр.  ->  {rate} Гц")

И вот что он выдал:

k=3  NTSC 225 стр.  PAL 270 стр.  ->  40500 Гц
k=3  NTSC 230 стр.  PAL 276 стр.  ->  41400 Гц
k=3  NTSC 235 стр.  PAL 282 стр.  ->  42300 Гц
k=3  NTSC 240 стр.  PAL 288 стр.  ->  43200 Гц
k=3  NTSC 245 стр.  PAL 294 стр.  ->  44100 Гц   
k=3  NTSC 250 стр.  PAL 300 стр.  ->  45000 Гц
k=3  NTSC 255 стр.  PAL 306 стр.  ->  45900 Гц
k=3  NTSC 260 стр.  PAL 312 стр.  ->  46800 Гц
k=4  NTSC 170 стр.  PAL 204 стр.  ->  40800 Гц
k=4  NTSC 175 стр.  PAL 210 стр.  ->  42000 Гц
k=4  NTSC 180 стр.  PAL 216 стр.  ->  43200 Гц
k=4  NTSC 185 стр.  PAL 222 стр.  ->  44400 Гц
k=4  NTSC 190 стр.  PAL 228 стр.  ->  45600 Гц
k=4  NTSC 195 стр.  PAL 234 стр.  ->  46800 Гц
k=4  NTSC 200 стр.  PAL 240 стр.  ->  48000 Гц    
k=4  NTSC 205 стр.  PAL 246 стр.  ->  49200 Гц
k=5  NTSC 135 стр.  PAL 162 стр.  ->  40500 Гц
k=5  NTSC 140 стр.  PAL 168 стр.  ->  42000 Гц
k=5  NTSC 145 стр.  PAL 174 стр.  ->  43500 Гц
k=5  NTSC 150 стр.  PAL 180 стр.  ->  45000 Гц
k=5  NTSC 155 стр.  PAL 186 стр.  ->  46500 Гц
k=5  NTSC 160 стр.  PAL 192 стр.  ->  48000 Гц
k=5  NTSC 165 стр.  PAL 198 стр.  ->  49500 Гц

С одним или двумя отсчетами на строку в выдаче пусто, потому что строк в поле просто не хватает, чтобы набрать 40 кГц. Начиная с трех отсчетов варианты появляются, и при k = 3 они идут ровно с шагом 900 Гц, поскольку наименьшее общее кратное 60 и 50 полей равно 300, а 300 × 3 = 900. Этот же разбор, кстати, есть и в английской википедии про PCM-адаптеры, так что мой перебор просто сошелся с ним по всем восьми строкам.

Дальше работает простая логика: чем больше отсчетов в строке, тем меньше места достается каждому из них, а значит, тем меньше бит на отсчет и хуже коррекция ошибок. На практике места и при трех отсчетах было впритык: бытовые адаптеры предлагали выбор между 14 битами с нормальной защитой от выпадений ленты и 16 битами, у которых защиты почти не оставалось. Поэтому k = 3 минимально возможное значение, и к четырем отсчетам никто переходить не хотел, хотя при k = 4 и 200 строках, как видите, получилось бы даже 48 000 Гц.

Внутри k = 3 нижние варианты сжимают переходную полосу фильтра: при 43 200 Гц зазор между 20 кГц и частотой Найквиста был бы всего 1 600 Гц. Верхние варианты съедают строки гасящего интервала: при 45 000 Гц на синхронизацию и переключение головок осталось бы по 12,5 строки на поле, а при 44 100 их остается 17,5 в NTSC и 18,5 в PAL. Выходит, что 44 100 Гц оказалась самой высокой частотой из тех, что еще оставляли видеомагнитофону запас строк на служебные нужды, и никакой другой причины у лишних ста герц нет.

59,94 оттенка серого

Внимательный читатель мог заметить, что в таблице выше NTSC подписан как черно-белый, и это сделано нарочно. Когда в пятидесятых американское телевидение становилось цветным, частоту полей чуть-чуть уменьшили, ровно в 1,001 раза, чтобы поднесущая цветности не создавала биений со звуковой несущей (про то, почему именно так, я оставлю для отдельной статьи). С тех пор цветной NTSC живет на 59,94 поля в секунду, и если подставить это в нашу формулу, получится вот что:

Это и есть та самая частота 44,056 кГц, которую можно встретить в описаниях старой техники. Большинство PCM-адаптеров писали 44,1 кГц для PAL и монохромного NTSC и 44,056 кГц для цветного, так что у японских и американских владельцев бытовых адаптеров записи получались на 0,1% медленнее, чем у европейских.

Разница крошечная, и я посчитала, во что она обходится, если просто проиграть запись на чужой частоте. Скорость меняется в 1,001 раза, высота тона сдвигается на 1200 × log₂(1,001) ≈ 1,7 цента, а час музыки становится короче примерно на 3,6 секунды. Услышать сдвиг в 1,7 цента не сможет, по-моему, вообще никто, и в профессиональной прессе прямо писали, что для каких-то задач записи на одной частоте можно воспроизводить на другой. Но для мастеринга CD так жить нельзя, и студийные видеомагнитофоны под PCM-адаптеры гоняли в режиме 525 строк на ровно 60 полей, то есть в честном черно-белом NTSC образца до 1953 года, где 60 × 245 × 3 дает ровные 44 100.

Получается забавная картина: в студиях начала восьмидесятых стояли профессиональные видеомагнитофоны, у которых специально выключали цвет и возвращали черно-белую развертку, и все ради того, чтобы на них можно было записывать музыку.

Как кассета попала на диск

Осталось понять, как частота студийной видеотехники стала частотой потребительского диска, и тут лучше всего послушать участника событий. Кес Имминк из Philips входил в совместную рабочую группу Sony и Philips и в 2007 году подробно описал ее работу в статье Shannon, Beethoven, and the Compact Disc для IEEE Information Theory Society Newsletter. Союз двух компаний оформили в октябре 1979 года, инженеры встречались попеременно в Токио и Эйндховене, и на третьей встрече, 20 декабря 1979 года, каждая сторона записала свои пожелания к будущему диску:

Забавно, что у Philips в графе частоты стоит целый диапазон, у Sony конкретное число, и уже по этому видно, у кого в руках была работающая студийная цепочка. Имминк пишет, что в 1978 году каждый производитель цифровой аудиотехники выбирал свою частоту где-то между 32 и 50 кГц, так что никакого общего стандарта не существовало. Зато надежный способ записать мастер и доставить его на завод существовал ровно один, через PCM-адаптер и видеокассету, поэтому, по его словам, выбирать группе пришлось между 44,1 и 44,056 кГц при разрядности до 16 бит. На четвертой встрече в Токио, 18 и 19 марта 1980 года, Philips согласилась и на 16 бит, и на 44,1 кГц.

И вот моя любимая деталь. Почему из двух видеочастот оставили 44,1, если 44,056 была ничем не хуже? Имминк пишет, что причина была одна: 44,1 проще запомнить. Помните, в начале я ворчала, что 44 000 запоминать было бы приятнее? Удобство запоминания тут действительно сыграло роль, просто выбирать приходилось между двумя видеочастотами, и в такой паре 44,1 выигрывает без вариантов.

С битами вышло похоже, и Имминк прямо признает, что желание Philips получить 14 бит держалось только на том, что у компании уже был готовый 14-битный ЦАП. Выкрутились в Эйндховене красиво: в первых проигрывателях Philips этот самый ЦАП работал с четырехкратной передискретизацией и выдавал качество, сопоставимое с 16 битами.

В итоге, как формулирует Имминк, звук компакт-диска повторил звук адаптера PCM-1600, потому что логистически другого выбора не было. Студия писала звук через PCM-1600 (а позже через PCM-1610 и PCM-1630) на кассету U-matic, монтировала на тех же видеомагнитофонах с помощью специального контроллера, и готовую кассету отправляли на завод, где с нее резали стеклянный мастер-диск. До девяностых видеокассета оставалась единственным способом доставить цифровой звук из студии на производство дисков, и только потом ее сменили ленты Exabyte и болванки CD-R. Любая другая частота на диске означала бы пересчет частоты дискретизации на каждом заводе, а преобразование частоты в реальном времени в начале восьмидесятых, насколько я понимаю, требовало отдельной дорогой железки, которую никто не горел желанием ставить в цепочку.

Остаться должен только один

В цифровом звуке по идее должна была остаться одна частота, но остались две, и вторая, 48 кГц, живет по соседству с первой до сих пор. Ее любят видео и вещание, и причина опять в кадрах: 48 000 делится на 25 и на 50 без остатка, в кадр PAL помещается ровно 1 920 отсчетов, а в цветном NTSC набегает 1 601,6 отсчета на кадр, которые за пять кадров складываются в целые 8 008. Мой скрипт, кстати, нашел 48 000 и среди видеочастот, при четырех отсчетах на строку и 200 строках в поле NTSC, однако PCM-адаптеры так не делали, и происхождение у 48 кГц свое, вещательное.

В результате профессиональный звук для видео живет на 48 кГц, музыку по традиции, заложенной компакт-диском, до сих пор массово мастерят в 44,1, а ваш компьютер, стоит только включить ролик поверх плейлиста, почти наверняка пересчитывает одно в другое. Где-то в системном микшере в этот момент крутится ресемплер с тем самым неудобным отношением 147 к 160, и все потому, что в 1979 году у Sony был работающий PCM-1600 с черно-белым видеомагнитофоном, а у остальных не было.

Напоследок одна деталь из той же статьи Имминка, которая добила меня окончательно. Про 74 минуты компакт-диска обычно рассказывают красивую историю о Девятой симфонии Бетховена в исполнении Фуртвенглера, которая должна была поместиться на один диск целиком. Имминк к этой истории относится скептически и объясняет диаметр 120 мм тем, что у Philips уже был готов завод под 115-миллиметровые диски, и Sony не хотела отдавать конкуренту такую фору, однако меня заинтересовало другое. Теоретически диск вмещал 74 минуты 33 секунды, но на практике предел задавала все та же кассета U-matic, на которую помещалось только 72 минуты, поэтому та самая запись Фуртвенглера вышла целиком на одном компакт-диске лишь в 1988 году, когда у студий появились другие носители для мастеров.