[Перевод] Какая связь между голосованием и бутылкой Клейна

Новая топологическая модель связывает парадокс голосования, известный уже несколько столетий, с поверхностью, у которой нет отдельных внутренней и внешней сторон

С математической точки зрения демократия практически невозможна.

Это может прозвучать как тема шестичасового подкаста какого‑нибудь миллиардера из Кремниевой долины, но на самом деле речь идёт об удивительно трудноразрешимой проблеме: как преобразовать индивидуальные предпочтения группы людей в единое коллективное решение?

В 1785 году французский математик и философ Никола де Кондорсе обнаружил, что большинство иногда может в результате голосования попасть в логический замкнутый круг. На выборах с тремя или более кандидатами каждый избиратель может расположить кандидатов в совершенно ясном и последовательном порядке предпочтения, однако после подсчёта всех голосов окажется, что каждый кандидат проигрывает одному из соперников при попарном сравнении. Изменение правил помогает лишь до определённого предела. Как позднее доказал экономист Кеннет Эрроу, любой способ объединения индивидуальных предпочтений в общий порядок должен нарушать хотя бы одно из демократических требований, которые на первый взгляд кажутся вполне разумными.

Теперь трое исследователей показали, что парадокс Кондорсе, которому уже 240 лет, имеет геометрическую форму, причём весьма необычную: бутылку Клейна, поверхность, у которой нет отдельных внутренней и внешней сторон. Этот результат даёт математикам геометрический инструмент для исследования того, почему, казалось бы, разумные правила коллективного принятия решений могут оказаться несовместимыми друг с другом.

Каждый кому‑нибудь проигрывает

Когда вариантов всего два, определить волю народа несложно: если голоса не разделились поровну, побеждает кандидат, которого предпочитает большинство. Однако стоит добавить третьего претендента, и начинаются странности. Внезапно даже договориться о том, что считать победой, становится проблемой.

Можно просто избрать того, кто получил больше всего голосов, как на обычных американских выборах. Но предположим, что Алиса получила 35 процентов голосов, Боб — 34 процента, а Кэрол — 31 процент. Побеждает Алиса. Однако если все сторонники Кэрол предпочитают Боба Алисе, то 65 процентов избирателей хотели бы видеть победителем Боба. Согласно одному из вполне разумных определений правила большинства, победил не тот кандидат.

Прежде чем кто‑нибудь потянется за шапочкой из фольги, уточним: все бюллетени подсчитаны правильно. Вопрос заключается в том, что именно следует считать победой.

Одно из решений состоит в том, чтобы попросить избирателей расположить кандидатов в порядке предпочтения, а затем выбрать того, кто победил бы любого соперника при попарном сравнении. Но рассмотрим следующую ситуацию:

• Треть избирателей предпочитает Алису Бобу, а Боба — Кэрол.

• Треть предпочитает Боба Кэрол, а Кэрол — Алисе.

• Треть предпочитает Кэрол Алисе, а Алису — Бобу.

Теперь сравним кандидатов попарно:

• Алиса побеждает Боба, поскольку первая и третья группы предпочитают Алису Бобу.

• Боб побеждает Кэрол, поскольку первая и вторая группы предпочитают Боба Кэрол.

• Кэрол побеждает Алису, поскольку вторая и третья группы предпочитают Кэрол Алисе.

У каждого избирателя предпочтения совершенно последовательны, но вместе они приводят к результату, который замыкается в круг.

Именно с этим парадоксом Кондорсе, убеждённый сторонник демократии, столкнулся в конце XVIII века. Будучи секретарём Французской академии наук, он искал способы обеспечить справедливость при избрании новых членов академии. (Кондорсе, отличавшийся более прогрессивными взглядами, чем большинство современников, также поставил под сомнение демократическую логику исключения половины населения из политической жизни, прямо выступив в защиту политических прав женщин в эссе 1790 года. Несколько лет спустя, во время эпохи террора, революция, которую он поддерживал, отправила его в тюремную камеру. Через два дня после ареста его нашли мёртвым.)

На протяжении столетий математики, политологи и реформаторы разрабатывали поразительное разнообразие избирательных систем в надежде преодолеть затруднение, обнаруженное Кондорсе. Однако у каждого метода есть свои слабые стороны. Измените систему, и вполне возможно, что изменится победитель, даже если избиратели и их предпочтения останутся совершенно теми же.

В 1951 году экономист Кеннет Эрроу показал, насколько глубока эта проблема. Он попытался найти систему голосования, которая давала бы согласованные результаты и одновременно удовлетворяла нескольким простым демократическим требованиям. Избиратели должны иметь возможность располагать кандидатов в любом порядке. Ни один избиратель не должен единолично определять исход выборов. (Иными словами, никаких королей.) Если все предпочитают один вариант другому, коллективное ранжирование должно отражать это предпочтение. А сравнительное положение двух кандидатов должно зависеть только от того, как избиратели сравнивают именно этих двоих: место Кэрол в бюллетенях не должно влиять на то, окажется ли Алиса выше Боба в общем рейтинге.

Каждое из этих требований само по себе кажется вполне разумным. Однако Эрроу показал, что ни один метод не способен удовлетворить их все одновременно. «Довольно часто воли народа просто не существует», — сказал Иэн Маклин из Оксфордского университета.

Этот результат, ныне известный как теорема Эрроу о невозможности, распространил парадокс Кондорсе за пределы правила большинства, установив фундаментальное ограничение на способы объединения индивидуальных голосов в коллективное решение. Разные избирательные системы могут нарушать разные требования Эрроу, но ни одна система не способна выполнить их все. «Разработчику избирательной системы приходится выбирать, нарушение какого из условий принесёт наименьший вред», — сказал Маклин.

В 1980 году математик и экономист Грасиэла Чичильниски, стремясь лучше понять это явление, обратилась к топологии, разделу математики, в котором фигуры считаются эквивалентными, если одну можно превратить в другую путём растяжения и деформации без разрывов. В примечании она высказала предположение, что парадокс Кондорсе, в частности, можно рассматривать как топологическую проблему.

Теперь математики доказали, что её интуиция была верной.

Геометрия парадокса

Итак, как выглядит парадокс голосования?

Чтобы ответить на этот вопрос, авторы новой работы опирались на модель, предложенную в 1993 году Юлием Барышниковым, ныне профессором Иллинойсского университета в Урбане‑Шампейне. Для начала рассмотрим бюллетень одного избирателя на выборах с тремя кандидатами. Существует шесть возможных способов расположить кандидатов в порядке предпочтения. Каждый из них можно представить в виде треугольника:

Каждая вершина этого треугольника представляет одно из попарных сравнений, следующих из бюллетеня: Алиса предпочтительнее Боба, Боб предпочтительнее Кэрол, а Алиса предпочтительнее Кэрол.

Другой бюллетень, в котором Алиса стоит первой, Кэрол второй, а Боб третьим, совпадает с первым по двум сравнениям, поскольку в обоих случаях Алиса стоит выше соперников. Следовательно, соответствующие треугольники имеют две общие вершины и могут быть соединены вдоль ребра, связывающего эти вершины.

Теперь соединим все шесть треугольников, представляющих все возможные варианты голосования, вдоль соответствующих рёбер. Получится полоса:

Рёбра на двух концах этой полосы также соответствуют друг другу. Поэтому согнём полосу и склеим эти рёбра, совместив обозначения. Получится трубка с отверстием на каждом конце:

Барышников использовал эту модель, чтобы предложить новое топологическое доказательство теоремы Эрроу о невозможности.

Но посмотрим, что происходит на концах трубки. Вдоль одного края расположены следующие сравнения: Алиса предпочтительнее Боба, Боб предпочтительнее Кэрол, Кэрол предпочтительнее Алисы. Вдоль другого края тот же цикл идёт в обратном направлении.

Таким образом, мы получаем парадоксальные циклы Кондорсе, результаты голосования, образующие замкнутый круг. Барышников оставил эти края без внимания. Однако спустя 30 лет, в апреле 2025 года, Ори Ливсон, аспирант Сиднейского университета, решил вернуться к ним. В конце концов, иногда подобные циклические отношения вполне допустимы, например в правилах игры «камень, ножницы, бумага». Проблема возникает в таких ситуациях, как выборы, когда от этих отношений ожидают образования последовательного порядка предпочтений. Ливсон хотел создать топологическую модель, которая позволяла бы различать случаи, когда циклы допустимы, и случаи, когда они недопустимы.

Вместе со своим научным руководителем Михаилом Прокопенко и давним коллегой Прокопенко Сиддхартхом Притамом из Математического института Ченнаи он приступил к моделированию проблемного случая.

Каждый цикл вдоль краёв трубки приводит к одному и тому же невозможному выводу: каждый кандидат оказывается выше всех остальных. В этом смысле оба края сообщают одно и то же. А в топологии, «как только вы понимаете, что две вещи одинаковы, их можно склеить», сказал Ливсон.

Но как именно следует соединить края?

Если согнуть трубку так, чтобы два её отверстия встретились, получится поверхность в форме бублика, называемая тором. Однако при таком склеивании отдельные рёбра двух краёв соединяются в пары, представляющие несовместимые отношения. Например, ребро, соответствующее предпочтению «Боб выше Алисы, а Алиса выше Кэрол», оказывается склеенным с ребром, соответствующим предпочтению «Боб выше Кэрол, а Кэрол выше Алисы». Исследователям требовалось найти способ соединить края, не создавая подобных противоречий.

Решение? Перекрут. Вместо того чтобы соединять точки одного края с точками другого в том же порядке, перекручивание позволило исследователям изменить порядок предпочтений вдоль одного из краёв на противоположный, сделав циклы эквивалентными. «Склеивание с перекручиванием — единственный допустимый вариант», — сказал Ливсон.

Если перекрутить полоску бумаги и соединить её концы, получится поверхность, имеющая только одну сторону, которая называется лентой Мёбиуса. Но что произойдёт, если перекрутить трубку? Получится нечто удивительное и странное: бутылка Клейна.

Как и лента Мёбиуса, у бутылки Клейна есть только одна сторона, без отдельных внутренней и внешней поверхностей. Но, в отличие от ленты Мёбиуса, у неё нет края. (Если кажется, что эта поверхность пересекает сама себя, то так оно и есть — в трёхмерном пространстве. Математики обходят эту проблему, строя бутылку Клейна в четырёхмерном пространстве, где она может замыкаться без самопересечений.)

Итак, трое исследователей получили свою модель. Подобно тому как каждый избиратель может иметь последовательный порядок предпочтений, но предпочтения всего электората не складываются в единый порядок, каждый небольшой участок бутылки Клейна кажется имеющим две стороны, однако эти стороны невозможно последовательно различать на всей поверхности. В обоих случаях то, что имеет смысл по отдельности, перестаёт работать, когда мы пытаемся соединить все части в единое целое.

Для Ливсона, Притама и Прокопенко это сходство поднимает более широкий вопрос: может ли топология помочь объяснить другие фундаментальные ограничения математически возможного? Возможно, если придать различным теоремам о невозможности геометрическую форму, выяснится, что у них есть более глубокое общее геометрическое объяснение.

Так что же всё это означает для демократии?

Топология позволяет придать парадоксу наглядную форму, но выбор избирательной системы по‑прежнему означает необходимость выбирать меньшее из зол. Математика может объяснить, в чём заключаются неизбежные компромиссы. А наши приоритеты определяют, на какие из них стоит пойти. И этого за нас не решит никакая теорема. «На самом деле это не математический спор, — сказал Маклин. — Это спор о ценностях».

Если эта публикация вас вдохновила и вы хотите поддержать автора — не стесняйтесь нажать на кнопку