עת לחלות ועת לחסן: המתמטיקה של תזמון החיסונים
מחלות עונתיות, הגנה חיסונית שדועכת ושינויים חדים בקצב ההדבקה יוצרים בעיית תזמון מורכבת; מודל מתמטי מציע אסטרטגיות שונות למצבי מחסור ושפע בחיסונים
מתי נכון לחסן אוכלוסייה מפני מחלה עונתית כמו שפעת? האם עדיף לרכז את המבצע ביום או בחודש מסוים, או לפרוס את החיסונים על פני תקופה ארוכה? מחקר מתמטי של פרופ׳ ניר גביש מהפקולטה למתמטיקה בטכניון ופרופ׳ חגי כתריאל מהמחלקה למתמטיקה שימושית במכללה האקדמית להנדסה בראודה בכרמיאל מראה כי התשובה תלויה בכמות החיסונים, בקצב דעיכת ההגנה ובאופן שבו משתנה ההדבקה במהלך השנה.
המחקר עוסק במחלות שבהן מידת ההדבקה משתנה לפי עונות השנה והחסינות אינה נשמרת לצמיתות. שפעת היא דוגמה מובהקת: היא מידבקת יותר בחורף, החיסון אינו מעניק הגנה מלאה וההגנה שהוא מספק דועכת עם הזמן. לכן חיסון מוקדם מדי עלול להשאיר את המתחסן חשוף בהמשך העונה, ואילו חיסון מאוחר מדי עלול להינתן לאחר שהתחלואה כבר החלה להתפשט.
שאלה שנולדה בתקופת הקורונה
שיתוף הפעולה בין החוקרים החל בתקופת מגפת הקורונה, כאשר עבדו עם משרד הבריאות על מודלים של התפשטות המגפה, חיסונים וצעדי התערבות כגון סגרים. באותה תקופה עלתה האפשרות שהקורונה תהפוך למחלה עונתית ויהיה צורך לתת מדי שנה מנת דחף עונתית.
מכאן צמחה שאלת המחקר: אם שיעור מסוים מהאוכלוסייה עתיד להתחסן בכל מקרה, מתי רצוי לתת את החיסונים? האם כדאי לרכז אותם לפני החורף, בשיא עונת התחלואה או דווקא לפרוס אותם לאורך כמה חודשים? אף שהקורונה לא התייצבה עד כה בדפוס עונתי פשוט הדומה לשפעת, השאלה המתמטית נותרה רלוונטית למחלות עונתיות רבות.
מחקרים קודמים פישטו בדרך כלל את הבעיה באמצעות הנחה מוקדמת על צורת מבצע החיסונים. למשל, הם חיפשו את היום הטוב ביותר אם כל החיסונים ניתנים ביום אחד, או את החודש הטוב ביותר אם המבצע נמשך חודש. גביש וכתריאל ביקשו לאפשר למודל לבחור בעצמו את מבנה האסטרטגיה, בלי לקבוע מראש אם היא תהיה מרוכזת, רציפה או שילוב של השתיים.
למה בעיית התזמון מורכבת כל כך
הקושי הראשון הוא העונתיות. שיעור ההדבקה בשפעת, לדוגמה, עולה בחורף. אחת ההשערות המקובלות קושרת זאת ללחות מוחלטת נמוכה, המסייעת לנגיף לשרוד זמן רב יותר באוויר ולעבור ביתר קלות בין בני אדם.
הקושי השני נובע מהשפעת החיסון על כלל האוכלוסייה. אדם שמתחסן מפחית לא רק את הסיכון שלו לחלות, אלא גם את הסיכוי שיעביר את המחלה לאחרים. כאשר אנשים רבים מתחסנים בפרק זמן קצר עשוי להיווצר אפקט מצטבר של הגנה באוכלוסייה.
מנגד, ההגנה החיסונית דועכת. חיסון שניתן זמן רב לפני שיא ההדבקה עלול לאבד חלק ניכר מיעילותו עד שהסיכון מגיע לשיא. קיימת גם השפעה בין עונה לעונה: בתנאים מסוימים מדיניות החיסונים עשויה לתרום לדפוס מתחלף של עונת תחלואה חזקה ולאחריה עונה חלשה.
מרחב של אינסוף אפשרויות
כדי להתמודד עם הבעיה השתמשו החוקרים במסגרת מתמטית המכונה „מרחב של מידות”. במקום להגביל את המודל לפונקציה חלקה המתארת קצב חיסון בכל יום, המסגרת מאפשרת לבחון גם אירועים מרוכזים מאוד — „פולסים” של חיסון — ולשלב ביניהם לבין תקופות של חיסון רציף או של הימנעות מחיסון.
הגישה הזאת מאפשרת לסרוק מרחב עצום של לוחות זמנים אפשריים ולזהות פתרון מיטבי גם כאשר הוא מורכב או אינו אינטואיטיבי. המודל מביא בחשבון אוכלוסיות של אנשים רגישים למחלה, מחוסנים, חולים ומחלימים, וכן את השינויים העונתיים בקצב ההדבקה ואת דעיכת החסינות הטבעית והחסינות הנרכשת באמצעות חיסון.
המטרה המתמטית היא למצוא תוכנית חיסונים מחזורית שמפחיתה ככל האפשר את מספר ההתרבות של המחלה, תחת מגבלה של כמות חיסונים שנתית נתונה. במילים אחרות, החוקרים שואלים כיצד להפיק את ההשפעה המרבית מאותו מלאי חיסונים.
מחסור, שפע וקפיצות בהדבקה
מהניתוח עולה שכאשר מלאי החיסונים מוגבל, האסטרטגיה המיטבית נוטה להתכנס למבצע מרוכז זמן מה לפני המועד שבו מקדם ההדבקה מגיע לשיאו. הריכוז נועד לנצל היטב את ההגנה בזמן שבו היא נחוצה במיוחד, לפני שתספיק לדעוך.
כאשר יש שפע של חיסונים, התמונה משתנה. בתנאים אלה עשוי להיות כדאי לפרוס את מתן החיסונים כמעט על פני השנה כולה, במקום להסתפק במבצע קצר. בין שני המצבים האלה יכולים להופיע לוחות זמנים משולבים הכוללים תקופות פעילות ותקופות שבהן לא ניתן חיסון.
תוצאה נוספת נוגעת ל„קפיצות הדבקה” — עליות חדות בקצב ההעברה, למשל כאשר תלמידים חוזרים מחופשה ומתחדשים המפגשים הצפופים בבתי הספר. כאשר המודל מייצג קפיצה פתאומית כזאת, הפתרון המיטבי עשוי לכלול פולס חיסונים מרוכז סמוך לנקודת הקפיצה.
לעומת זאת, כאשר השינוי העונתי בקצב ההדבקה רציף והדרגתי, החוקרים מצאו שבמגוון רחב של תנאים הפתרון המיטבי אינו כולל פולסים, אלא פרקי זמן של חיסון פעיל בקצב משתנה לצד פרקי זמן ללא חיסון.
מודל תיאורטי, לא המלצה רפואית
החוקרים מדגישים כי בשלב זה מדובר במודל תיאורטי. כדי לפשט את המציאות הוא נשען על הנחות שיידרשו לבדיקה ולפיתוח נוספים. המודל עדיין אינו מביא בחשבון את כל מאפייניה של מחלה מסוימת, את ההבדלים בין קבוצות אוכלוסייה, את היענות הציבור או את המגבלות הלוגיסטיות של מערכת הבריאות.
לכן אין להסיק ממנו בשלב זה המלצה אישית על מועד ההתחסנות. השלב הבא הוא להתאים את העקרונות המתמטיים למודלים מפורטים של חיסונים ולבחון אותם מול נתונים אמפיריים, ובהם נתוני תחלואה משנים קודמות.
לדברי החוקרים, אסטרטגיה מתמטית מיטבית אינה בהכרח ניתנת ליישום מדויק במציאות, אך היא יכולה לספק למקבלי ההחלטות נקודת ייחוס: יעד תאורטי שמולו אפשר להשוות תוכניות מעשיות ולהבין מהו המחיר של אילוצים שונים.
לניתוח עשויים להיות גם יישומים מעבר לחיסונים. הוא עוסק באופטימיזציה של משאב מוגבל בתוך מערכת מחזורית, ולכן עקרונות דומים יכולים לסייע בתכנון הדברה בשדות חקלאיים, בתזמון מתן אנטיביוטיקה או בניהול משאבים מתחדשים כגון אוכלוסיות דגים.
שאלות ותשובות
מתי הזמן הטוב ביותר לקבל חיסון עונתי?
אין מועד מיטבי אחד שמתאים לכל מצב. לפי המודל, התזמון תלוי בכמות החיסונים הזמינה, בקצב דעיכת ההגנה ובדרך שבה משתנה ההדבקה לאורך העונה.
מה מציע המודל כאשר יש מחסור בחיסונים?
במצב של מלאי מוגבל, האסטרטגיה המיטבית נוטה לרכז את החיסונים זמן מה לפני השיא הצפוי במקדם ההדבקה.
מדוע לעיתים כדאי לפרוס את החיסונים לאורך השנה?
כאשר מלאי החיסונים גדול, פריסה ממושכת עשויה לשמור על שכבת הגנה באוכלוסייה גם כאשר החסינות דועכת והסיכון משתנה במהלך השנה.
האם המחקר משנה כבר עכשיו את המלצות החיסון לציבור?
לא. זהו מחקר מתמטי תיאורטי שעדיין דורש התאמה למחלות ולנתונים ממשיים. החלטות רפואיות אישיות צריכות להיעשות בהתאם להנחיות משרד הבריאות ובהתייעצות עם אנשי מקצוע.
המאמר המדעי
עוד בנושא באתר הידען
KioskNews shows a cleaned-up reading view extracted from the publisher’s page — the original always lives on their site, not ours.