Как фокусник‑математик из Стэнфордского университета обнаружил лазейку в казино

Как фокусник-математик из Стэнфордского университета обнаружил лазейку в казино

6 мин

331

Однажды руководство компании, производившей профессиональные машины для тасовки карт, столкнулось с серьёзной проблемой. Тысячи её устройств работали в казино Лас-Вегаса и по всему миру, а аренда оборудования приносила миллионы долларов в год.

Но одну из машин удалось взломать. Группа мошенников установила скрытую видеокамеру и снимала работу механизма через прозрачное окно корпуса. Видео передавалось сообщнику на парковке казино, который просматривал запись в замедленном режиме и восстанавливал последовательность карт. После этого порядок колоды сообщали игрокам внутри казино.

До того как схему раскрыли, казино потеряло миллионы долларов.

После этого производитель решил создать более защищённую машину. Новый механизм поместили в непрозрачный корпус, а инженеры утверждали, что одного прохода через устройство достаточно, чтобы полностью перемешать колоду. Это позволяло ускорить игру и одновременно защищало казино от счётчиков карт и недобросовестных дилеров.

Но компании нужно было убедиться, что устройство действительно создаёт случайный порядок. Для этого пригласили Перси Диакониса - математика Стэнфордского университета и бывшего профессионального фокусника, которого считают одним из крупнейших специалистов в мире по математике тасования карт.

Вместе со статистиком Сьюзен Холмс он приехал в Лас-Вегас, чтобы изучить прототип. На первый взгляд машина работала отлично: карты после тасовки выглядели расположенными совершенно хаотично.

Однако математики довольно быстро заметили проблему. В колоде сохранялись восходящие и нисходящие последовательности. Иными словами, машина разрушала первоначальный порядок не полностью. В колоде оставалась информация о том, как карты располагались раньше, и этой информации было достаточно, чтобы делать прогнозы.

Диаконис и Холмс придумали простой эксперимент. Допустим, первой открывалась пятёрка червей. Тогда они предполагали, что следующей картой будет шестёрка червей, исходя из того, что сейчас наблюдается возрастающая последовательность. Если вместо этого появлялась четвёрка червей, значит, вероятно, последовательность шла вниз, и следующим предположением становилась тройка червей.

Стратегия кажется примитивной, но с её помощью математики правильно угадывали примерно 9–10 карт из одной колоды - почти каждую пятую. Этого было достаточно, чтобы в два или три раза увеличить преимущество опытного счётчика карт.

Руководство компании результатами оказалось крайне недовольно. Но признало, что именно ради этого и приглашало математиков. Прототип тихо сняли с разработки и заменили другой машиной.

Эта история хорошо показывает одну важную особенность случайности: то, что выглядит случайным, необязательно является случайным.

________________________________________________________________________

Галактика в колоде карт

Обычная колода из 52 карт содержит почти немыслимое количество возможных комбинаций. Для первой карты существует 52 возможных позиции, для второй — 51, для третьей — 50 и так далее. Общее число вариантов равно 52 × 51 × 50 × … × 2 × 1.

В математике это записывается гораздо короче: 52!, или «52 факториал».

За этой компактной записью скрывается число из 68 цифр:

52! ≈ 8 × 10⁶⁷.

Это настолько много, что количество возможных вариантов расположения карт сопоставимо с оценками числа атомов в нашей галактике.

Поэтому, когда хорошо перемешанная колода оказывается у вас в руках, конкретный порядок её карт с огромной вероятностью никогда прежде не существовал.

И если после следующей тасовки порядок действительно выбран случайно, вы, скорее всего, держите в руках комбинацию из 52 карт, которая появилась впервые за всю историю.

_____________________________________________________________________________

Перси Диаконис посвятил этому вопру значительную часть своей жизни. Его исследования находились на границе между порядком и хаосом. Он изучал шифрование сообщений, восстановление последовательностей ДНК, алгоритмы поисковых систем и многие другие задачи. И удивительно часто сводил их к одному и тому же вопросу: что происходит, когда мы тасуем карты?

Интерес Диакониса к этой теме появился ещё в детстве. В 1958 году, когда ему было 13 лет, он оказался в знаменитом нью-йоркском магазине фокусников Tannen's Magic Emporium. Там он встретил шотландского программиста и фокусника Алекса Элмсли, который умел выполнять так называемую идеальную тасовку.

Колода делится ровно на две части по 26 карт, после чего половины переплетаются таким образом, чтобы карты из каждой стопки чередовались строго одна за другой. Сделать это руками чрезвычайно сложно, а результат выглядит как очень качественное перемешивание.

Но на самом деле происходит обратное. Идеальная тасовка почти не создаёт случайности.

Если выполнить такую тасовку восемь раз подряд, колода вернётся точно в первоначальное состояние. Диаконис любит демонстрировать это с помощью простого трюка: на боковой стороне новой колоды крупными буквами пишется слово RANDOM. После нескольких тасовок буквы распадаются и превращаются в случайный набор фрагментов, но после восьмой тасовки слово снова возникает целиком.

Все 52 карты оказываются ровно там, где находились в самом начале.

Причина заключается в математической структуре самой тасовки. Каждая карта движется по определённому циклу позиций, и после некоторого количества повторений все эти циклы одновременно возвращаются в исходное состояние.

Эта встреча настолько заинтересовала Диакониса, что уже через год, в 14 лет, он ушёл из дома, чтобы изучать искусство карточных фокусов у профессионального иллюзиониста. Следующие десять лет он путешествовал, изучая разные способы тасования и техники карточных шулеров.

Позже он вернулся к математике и сделал одно из своих самых известных открытий: для хорошего перемешивания обычной колоды достаточно примерно семи правильных riffle shuffle — привычных тасовок, когда колоду делят пополам и переплетают две половины небольшими группами карт.

После одной или двух таких тасовок первоначальный порядок всё ещё хорошо заметен. Даже после четырёх или пяти в колоде остаётся значительное количество структуры.

А затем происходит резкий переход.

После седьмой тасовки колода становится практически неотличимой от случайной. Восьмая, девятая или десятая тасовка уже почти ничего не меняют.

Получается своеобразный порог. До него колода сохраняет память о прошлом. После него эта память практически исчезает.

Чтобы строго описать этот процесс, Диаконис использовал цепи Маркова. Цепь Маркова - это последовательность состояний, в которой следующий результат зависит только от текущего состояния, а не от всей истории системы.

Для карт это означает, что результат седьмой тасовки зависит от расположения карт после шестой, но уже неважно, каким именно образом колода пришла к этому состоянию.

Та же идея используется далеко за пределами карточных игр. Цепи Маркова применяются в статистике, физике, генетике, экономике и компьютерных науках. Даже знаменитый алгоритм Google PageRank можно представить через подобную модель: пользователь случайным образом переходит по ссылкам, а вероятность оказаться на определённой странице зависит от текущего положения.

Работая вместе с математиком Дэйвом Байером, Диаконис обнаружил ещё одну важную особенность процесса тасования. Переход от порядка к случайности происходит не постепенно, а довольно резко. Математики называют это cut-off phenomenon — эффектом отсечения.

Хорошая аналогия сливки в кофе. Сначала после перемешивания остаются длинные белые полосы. Потом они становятся всё тоньше, а в какой-то момент почти полностью исчезают. После этого восстановить первоначальное расположение сливок уже невозможно.

С картами происходит нечто похожее. Именно поэтому понимание того, по какую сторону этого порога находится колода, может давать игроку серьёзное преимущество.

В 1990-х группа студентов Гарварда и MIT успешно использовала подобные идеи в блэкджеке. Они считали карты и следили за тем, насколько хорошо казино перемешивает колоду. Если после тасовки в ней сохранялась структура, вероятность некоторых событий становилась более предсказуемой.

Казино ответили более совершенными автоматическими тасовщиками, более частым перемешиванием колод и усилением наблюдения за игроками.

Но исследования Диакониса оказались важны гораздо шире азартных игр. Они показывают фундаментальную вещь: случайность - это не отсутствие очевидного порядка.

Система может выглядеть хаотичной и одновременно сохранять огромное количество информации о своём прошлом. Иногда нескольких скрытых закономерностей достаточно, чтобы превратить кажущийся хаос в предсказуемую систему.

Сам Диаконис азартными играми почти не интересуется. По его словам, существуют гораздо более интересные способы зарабатывать деньги. Но к людям, которые пытаются получить преимущество с помощью математики, он относится спокойно.

Его формулировка проста: «Думать - не значит жульничать. Думать - значит думать».

Хорошего дня! заходите на тг канал https://t.me/TradPhronesis