Почему едет велосипед: от закона рычага до парадокса систем отсчета

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! Как работает цепная передача в велосипеде и какие силы участвуют при этом? Может ли сила трения покоя разгонять велосипед? Для чего в разных условиях надо использовать разные передачи (с точки зрения физики)? И наконец, какой возникает парадокс, когда мы описываем движение велосипеда в разных системах отсчета? Будем, так сказать, изобретать велосипед. Приятного чтения!

Друзья, мы посчитали: для спокойного существования нашего проекта (оплата всех ресурсов и налогов, зарплатный фонд, закупка оборудования и т.д.) нам нужно 2000 ежемесячных подписок по 500 рублей. В данный момент, на нашем Бусти порядка 150 подписок. Мы видим, что наши материалы хорошо набирают реакций и просмотров на Хабре. Если вам нравится то, что мы делаем, и вы готовы внести свой вклад в будущие подобные материалы – пожалуйста, поддержите нас. Спасибо!

Цепная передача: как педаль разгоняет колесо

Для начала расставим силы, действующие в цепной передаче. Мы условно изобразили здесь только то, что нам нужно:

• Обозначим длину шатуна педали через R₁

• Радиусы ведущей и ведомой звездочек — через a₁ и a₂

• Радиус заднего колеса — R₂

• Пусть велосипедист жмет на педаль силой F₁

• Цепь натянута силой T.

Тогда, по закону рычага, моменты обеих сил равны:

Та же самая сила T приложена к ведомой звездочке. И поскольку колесо вращается равномерно, она уравновешивается силой трения F₂, действующей на колесо со стороны дороги, так что:

Из этих двух соотношений получаем: сила F₂ равна силе F₁, умноженной на произведение отношений R₁ к R₂ и a₂ к a₁. Первое отношение меньше единицы, и второе тоже обычно меньше единицы — так что сила трения F₂ заметно меньше силы F₁, с которой велосипедист давит на педаль.

Золотое правило механики: проигрывая в силе, мы выигрываем в скорости. Чтобы это показать, снова обратимся к нашей схеме и рассмотрим скорости в системе отсчета, связанной с велосипедом.

Пусть:

• v₁ — скорость педали

• v₂ — скорость обода колеса

• u — скорость движения звеньев цепи.

Скорость v₂ больше скорости u в R₂/a₂ раз. В свою очередь, скорость u получается из скорости v₁ умножением на отношение a₁ к R₁. Поменяем местами два числителя — и мы увидим то же самое выражение, что и для отношения сил, только перевернутое.

Так что проигрыш в силе действительно обернулся равным выигрышем в скорости. Вот велосипед и едет гораздо быстрее, чем человек может двигать ногами. Не зря его название переводится с латыни как «быстроногий».

И кстати, скорость v₂ здесь направлена назад, потому что это скорость Земли относительно велосипеда.

А скорость велосипеда относительно Земли направлена в другую сторону, то есть вперед.

Парадокс первый: может ли сила трения покоя толкать велосипед вперед?

Пойдем дальше и зададим первый парадоксальный вопрос. Понятно, что велосипед отталкивается задним колесом от Земли. Но не Земля же его толкает вперед? Колесо имеет хорошее сцепление, оно соприкасается с землей без проскальзывания — так что сила его взаимодействия с землей — это, конечно, сила трения покоя. Но как может сила трения покоя толкать велосипед вперед?

И чтобы с этим разобраться, давайте сначала рассмотрим гребца на лодке с уключинами. Он отталкивается лопатками весел от воды, толкает воду назад.

Значит, со стороны воды на весла действует сила, направленная вперед. А еще на весло действует сила со стороны руки гребца — она тоже направлена вперед. Стало быть, со стороны весла на уключину лодки действует сила, равная сумме этих двух сил.

Но почему из этих двух сил надо оставить только первую? Дело в том, что гребец упирается ногами в специальный упор и давит на него с той же силой, с которой тянет за весла.

Эти две силы — внутренние для системы «гребец плюс лодка». Их суммарное действие на корпус лодки равно нулю. Поэтому толкает лодку вперед сила, равная той наружной силе, с которой вода давит на лопатку весла. И эта сила приложена к уключине.

Дела с велосипедом обстоят в точности таким же образом. Колесо толкает дорогу назад.

Поэтому со стороны дороги на колесо действует сила, направленная вперед. А еще на колесо действует сила натяжения цепи. Так что со стороны колеса на раму действует сумма двух этих сил.

Но сила натяжения цепи приложена также и к ведущей звездочке — не только к ведомой, — и через нее она тянет раму назад.

Так что совместное действие этих внутренних сил равно нулю. И в итоге раму толкает вперед сила, действующая со стороны колеса и равная силе, с которой дорога действует на колесо.

Колесо здесь оказывается своеобразным рычагом — каким в примере с лодкой было весло.

В таких рассуждениях главное — не путать, куда какие силы приложены. А когда научился за этим следить, оказывается, что ничего сложного в этом нет.

Зачем переключать передачи: любитель и профессионал на шоссе

И вот мы добрались до главного практического вопроса: зачем нужно переключать передачи на велосипеде? Мы хотим с точки зрения физики все разобрать детально и рассмотрим для этого любителя-велосипедиста и профессионала-велосипедиста.

Ну, вообще-то любитель и профессионал крутят педали с некоторой определенной частотой, удобной — не сильно различной. Любитель обычно крутит 80 оборотов в минуту, а профессионал чуть быстрее — 95 оборотов в минуту. Крутить медленнее можно, конечно, но чтобы тогда развивать ту же мощность, придется сильно увеличить силу нажима на педаль — и от этого мышцы забиваются и быстро выделяется молочная кислота. А крутить быстрее (быстрее 80-95 оборотов в минуту) неудобно: фактически ты двигаешь ногами вместо того, чтобы двигать велосипед.

Значит, скорость движения ступней у любителя составляет 1,5 м/с, а у профессионала чуть больше — 1,6 м/с. Разница здесь небольшая, но большая разница в силе.

Мы введем такую величину, как средняя сила, с которой человек давит на педали. Конечно, за один оборот сила очень меняется: в мертвых точках она практически равна нулю, а потом идет нажим. Как бы то ни было, любитель в среднем прикладывает силу примерно в 100 Н. А профессионал в шоссейных гонках доходит до 330 Н.

И мы теперь можем посчитать мощность: для этого надо силу умножить на скорость. И у любителя получается мощность 150 Вт, а у профессионала — 400 Вт.

Приведем кое-какие результаты расчетов и посмотрим на любителя и профессионала — сначала как они будут работать на горизонтальном шоссе. 

Подсчеты показывают: любитель сможет ехать со скоростью 27 км/ч, и силу на колесе ему надо иметь 20 Н: из них 16 Н — это преодоление сопротивления воздуха, и еще 4 Н — это потери на трение качения в колесах.

Профессионал сможет развить скорость 43 км/ч, и сила на колесе у него будет 33 Н: из них 29 Н — это сопротивление воздуха.

Соответственно, передаточные отношения: для любителя 100/20 = 5. Эта пятерка получается произведением двойки — это отношение радиуса колеса к длине шатуна у педали, и 2,5 — это отношение радиусов ведущей и ведомой звездочек, или, что то же самое, числа зубьев на них.

У профессионала 330 надо поделить на 33 — это примерно семерка, и там отношение по зубьям уже 3,5.

Те же велосипедисты на подъеме

Теперь рассмотрим подъем под уклоном 5% — то есть на 100 м дистанции 5 м подъема.

Пусть велосипедист весит 85 кг. Соответственно, вес — 850 Н, 5% от него — это 42 Н. Надо на колесе сразу иметь 42 Н на преодоление гравитации.

И снова подсчет показывает, что любитель сможет ехать со скоростью 11 км/ч; на колесе в целом будет 48 Н: из них 42 Н — это гравитация, 4 Н — это стандартные потери, и всего 2 Н — на сопротивление воздуха, оно тут ничтожное.

А профессионал на этот подъем будет ехать со скоростью 27 км/ч, и сила на колесе будет 60 Н: опять 42 Н — гравитация, стандартные 4 Н, и 16 Н — на преодоление сопротивления воздуха, — все еще 25% от полной силы.

Теперь смотрим передаточные отношения. Для любителя: 100/48 — это двойка. Двойка опять же — соотношение радиусов колеса и радиуса шатуна. Ну а по звездочкам ему придется сделать так, чтобы на ведущей и на ведомой звездочке зубцов было поровну. А у профессионала соответствующее отношение 230/60 — это четверка, и на отношение зубьев звездочек приходится двоечка в этом расчете.

Коробка передач (она же коробка скоростей) нужна и у велосипеда, и у автомобиля, и даже у токарного станка: для того чтобы согласовать эффективные условия работы двигателя с условиями движения.

Парадокс второй: а куда делась энергия гонщика? Зависит от того, где стоит наблюдатель

В заключение мы хотим рассмотреть один замечательный парадокс, который связан с рассмотрением движения велосипедиста в разных системах отсчета. А основываться наше рассуждение будет на следующем соображении: когда мы прикладываем силу F к некоторому телу, мощность, передаваемая этому телу, равна произведению F на v, где v — скорость тела в той системе отсчета, в которой мы описываем это явление. И в этом смысле передаваемая мощность зависит от той системы отсчета, которую мы выбрали для описания, — хотя сила F останется одной и той же.

Теперь рассмотрим велосипедиста, который едет с постоянной скоростью. 

Рассмотрим сначала в системе отсчета дороги. Энергия его мышц передается по цепи к заднему колесу. Втулка колеса давит на раму и передает энергию велосипеду и сидящему на нем велосипедисту. Велосипедист передает эту энергию воздуху перед собой, а потом — в основном за его спиной — воздух дробится на все более мелкие вихри. И в итоге вся эта энергия переходит в тепло за счет вязкости воздуха.

А теперь рассмотрим процессы передачи энергии в системе отсчета, связанной с велосипедистом. Прежде всего, воздух теперь налетает на неподвижного в этой системе отсчета велосипедиста — а значит, он не может обмениваться с ним энергией. Получается, что воздух налетает на препятствие, его ламинарное движение становится турбулентным, вихри дробятся — и в итоге часть энергии движущегося воздуха переходит в тепло.

А что происходит с энергией мышц велосипедиста? Естественно, она передается по цепи к колесу. А вот колесо толкает землю назад и отдает свою энергию Земле. Только мы этого не замечаем, потому что масса земного шара невероятно огромна.

Кто-нибудь скажет: «Ну, эти физики совсем с ума сошли». А вы представьте себе, что велосипедист сидит на велотренажере и крутит его педали. И куда идет его энергия? А давайте еще все это поместим в аэродинамическую трубу — и пусть на этого велосипедиста налетает поток воздуха. Мы увидим ровно ту же самую картинку, которую нарисовали для велосипедиста, едущего по шоссе, но в системе отсчета, связанной с велосипедом.

Приглашаем обсудить парадокс в комментариях! Делитесь своими мыслями :)

И спасибо всем, кто перешел по ссылке и оформил поддержку нашего проекта!

Видео, на основе которого написана эта статья:

И спасибо всем, кто перешел по ссылке и оформил поддержку нашего проекта!