Le zéro et l'infini : les mathématiciens indiens étaient en avance de plusieurs siècles sur les Européens !

Saviez-vous que la division et le calcul sur les angles en utilisant une base 60 sont en fait une habitude prise il y a des milliers d'années par les Babyloniens qui, plus généralement en utilisant une numération sexagésimale positionnelle - c'est-à-dire en base 60 - avaient remarqué qu'il était plus facile de calculer avec des fractions dans cette base parce que 60 possède beaucoup de diviseurs (60 = 2² × 3 × 5) ?

Saviez-vous qu'ils savaient résoudre certaines équations du second degré, bien qu'ils ne semblent pas avoir acquis le concert de démonstration déductive générale à la manière d'Euclide ?

Saviez-vous que le mathématicien indien Śrīdhara (VIII^e-IX^e siècle) était en possession de la formule générale de résolution des équations du second degré que nous connaissons, et qu'elle était connue presque sous la même forme par un autre mathématicien indien près de trois siècles plus tôt : Brahmagupta ?

Michel Serres nous a quittés avec un dernier tour du Ciel

Bien loin de Heidegger et de Sartre, Michel Serres était un philosophe profondément engagé dans son temps, homme de sciences tout autant qu'homme de lettres. En dehors de ses nombreux ouvrages, on lui devait aussi de merveilleux documentaires sur l'histoire des sciences auxquels il avait participé, comme Tours du Monde, Tours du Ciel, qu'il nous laisse en héritage après son décès à 88 ans.... Lire la suite

La liste serait longue et inclurait plusieurs mathématiciens-astronomes remarquables non-occidentaux, mais dont les travaux précurseurs vont parfois influencer les chercheurs européens. En fait, hors quelques historiens et philosophes des sciences en mathématiques, tel Michel Serres, nous sommes sans doute nombreux à avoir une vision encore trop centrée sur l'Europe en ce qui concerne la pensée mathématique à l'échelle de l'Humanité il y a plusieurs siècles et millénaires.

L'exposition qui se tient jusqu'au 24 septembre à Paris au Centre culturel Swami Vivekananda (pour mémoire Vivekananda est célèbre pour avoir largement fait connaître l'hindouisme au monde occidental et avoir été l'un des inspirateurs du mouvement pour l'indépendance de l'Inde) et qui s'intitule « De Shunya à Ananta : du zéro à l'infini - La contribution de la civilisation indienne aux mathématiques » contribue à corriger ce défaut en mettant en lumière le parcours mathématique exceptionnel de l'Inde à travers les siècles, notamment avec ses découvertes concernant le zéro et l'infini.

« De Shunya à Ananta — du zéro à l’infini ! »

L’ambassade de l’Inde à Paris a inauguré l’exposition « De Shunya à Ananta : du zéro à l’infini – La contribution de la civilisation indienne aux mathématiques » au Centre culturel Swami Vivekananda (SVCC) de Paris, mettant en… pic.twitter.com/vclgi0xXwK

— India in France (@IndiaembFrance) September 11, 2026

Śūnya et Ananta sont des mots sanskrits. Śūnya signifiant « vide », « absence », puis en mathématiques zéro. Ananta signifiant « sans fin », « illimité », donc infini.

Comme l'expliquait l'Ambassade de l'Inde à Paris, lors de la soirée d'ouverture de l'exposition, « l'un des temps forts de la soirée fut une conversation fascinante entre deux lauréats de la médaille Fields, les professeurs Manjul Bhargava et Laurent Lafforgue, qui ont évoqué l'héritage mathématique de l'Inde, la circulation des idées entre les civilisations et le langage universel des mathématiques.

À travers des manuscrits rares, des installations interactives et des dispositifs multimédias immersifs, l'exposition retrace l'évolution allant du zéro et du système décimal jusqu'à l'algèbre, la trigonométrie, l'astronomie et les prémices du calcul infinitésimal, révélant ainsi toute la profondeur et la pertinence du patrimoine intellectuel indien ».

Les origines du Monde ne sont-elles ouvertes aux scientifiques que quand ils sont aussi des poètes ? Partie I

Depuis presque un siècle, les scientifiques ont développé des théories expliquant tout d'abord l'origine du Système solaire puis de l'Univers observable, en tout cas jusqu'à un certain point. Mais sont-ils vraiment allés plus loin que les mythes sur l'origine du Monde qui font écho dans bien des cultures et depuis plusieurs milliers d'années ? Le lecteur et la lectrice peuvent se faire une opinion à ce sujet avec une anthologie de textes patiemment collectés et commentés sur ces questions par le célèbre astrophysicien, cosmologiste et poète Jean-Pierre Luminet depuis plus d'une décennie. Voici quelques commentaires sur cette anthologie en deux parties.... Lire la suite

Lauréat de la médaille Fields en 2014 avec Artur Avila et Maryam  Mirzakhani, le mathématicien indo-canado-américain Manjul Bhargava a fait l'honneur à Futura de répondre à quelques-unes de nos questions. Il est actuellement professeur à l'Université de Princeton, là où des légendes en mathématiques comme Hermann Weyl et André Weil ont été professeurs. Lui-même a passé sa thèse sous la direction de Andrew Wiles, célèbre pour avoir démontré le fameux dernier théorème de Fermat en théorie des nombres.

Les travaux de Manjul Bhargava sont liés à la théorie des nombres, en particulier celle dite de la géométrie des nombres que l'on doit à Minkowski (oui, celui de la théorie de la relativité restreinte !) et dont on peut se faire une idée avec le fameux ouvrage de David Hilbert et Stefan Cohn-Vossen et à celle des courbes elliptiques. Ces courbes sont liées à la théorie de la géométrie algébrique. Théorie qui a été révolutionnée par Alexandre Grothendieck.

Dans cette vidéo, nous explorons le monde fascinant de la théorie des nombres à travers la vie et la pensée de Manjul Bhargava, l'un des mathématiciens les plus importants de sa génération. Nous découvrons comment il a révolutionné notre compréhension des concepts algébriques complexes en les transformant en modèles géométriques simples et visuels, accessibles à tous. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l'écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © Turing

Les réponses de Manjul Bhargava à nos questions

Futura : Le Français Michel Serres, qui avait une double formation en philosophie des sciences et en mathématiques, expliquait dans un documentaire sur l'histoire mondiale de l'astronomie que les mathématiciens grecs de l'Antiquité avaient été les seuls à développer systématiquement une formulation abstraite, générale et axiomatisée de la géométrie. Mais que, trop souvent, les Européens avaient ensuite été aveugles et injustes sur des résultats mathématiques importants déjà connus avant les Grecs et après eux, ailleurs dans le monde, des contributions des Babyloniens à ceux des Indiens en passant par la civilisation arabo-musulmane. Si l'on y trouve des énoncés en rapport avec la géométrie, ce sont surtout des résultats remarquables et parfois inconnus des Grecs concernant des algorithmes en rapport avec l'arithmétique et l'algèbre.

Êtes-vous d'accord ?

Manjul Bhargava : Oui, je suis d'accord, mais je dirais même que cela va au-delà. Il y avait certainement de nombreux algorithmes, mais également de nombreux théorèmes, qui ne relevaient pas d'algorithmes en arithmétique ou en géométrie, et qui sont antérieurs aux mathématiques grecques.

Par exemple, dans les mathématiques indiennes, on trouve le théorème de Baudhayana, dans les Śulba Sūtras, aujourd'hui encore souvent appelé théorème de Pythagore, même si cette appellation commence progressivement à changer dans certains ouvrages. Baudhayana, dans son Śulba Sūtra (vers 800 avant notre ère), énonce le théorème essentiellement sous la forme dans laquelle nous l'apprenons aujourd'hui : « l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit ». Il décrit également une démonstration du théorème par dissection.

La compréhension de ce théorème est donc antérieure à Pythagore. Incidemment, il n'existe aucune preuve que les Pythagoriciens aient eux-mêmes possédé une démonstration de ce théorème. Il existe de nombreux autres exemples de ce type.

Futura : Pensez-vous que vos collègues occidentaux ont une vision plus juste aujourd'hui des accomplissements et des influences sur l'histoire des mathématiques occidentales des découvertes de leurs collègues au cours des derniers millénaires et en dehors de l'Europe.

Manjul Bhargava : Il ne s'agit pas seulement des collègues occidentaux : même des collègues indiens d'Orient ignorent largement les réalisations des mathématiciens extérieurs à l'Europe, car la plupart des manuels scolaires en Inde ont pendant très longtemps suivi des ouvrages datant de l'époque coloniale.

Les choses changent, mais le changement prend du temps.

Futura : Ce n'est sans doute pas le cas pour le grand public mondial, est-ce pour cette raison que vous vous êtes impliqué dans l'exposition itinérante « De Shunya à Ananta : de zéro à l'infini. La contribution de la civilisation indienne aux mathématiques » ?

Manjul Bhargava : Oui, précisément ! Les expositions de ce type ont le pouvoir de faire découvrir au public des choses que nous n'avons pas toujours l'occasion d'apprendre dans les manuels scolaires.

Personnellement, j'ai eu de la chance : mon grand-père était un érudit du sanskrit et possédait de nombreux livres dans sa bibliothèque que je pouvais consulter et au sujet desquels je pouvais lui poser des questions.

J'ai énormément appris sur les contributions indiennes aux mathématiques grâce à ce qu'il m'a enseigné concernant les rythmes de la poésie sanskrite, ainsi qu'à travers son importante collection d'ouvrages, qui comprenait notamment les œuvres de Baudhayana, Hemachandra, Brahmagupta et Aryabhata.

Futura : On sait qu'en Occident, vers le 4^e siècle av. J.-C. pour le philosophe pythagoricien et mathématicien Archytas de Tarente, ainsi que pour son ami et probable disciple Platon, mathématiques, astronomie et musique sont conçues comme des sciences sœurs, dont la pratique devait être combinée pour la formation d'un philosophe. Ce qui est moins connu, comme l'explique un texte de Robert Muller, c'est que la musique pour un Grec du temps de Platon renvoie également aux muses et à la combinaison de ce que nous appelons la musique, en notre sens moderne, avec des textes poétiques.

Futura : Trouve-t-on aussi des idées similaires dans l'histoire des mathématiques en Inde et qu'en est-il de vous-même ?

Manjul Bhargava : Absolument. En Inde, la musique, la poésie et les mathématiques étaient inextricablement liées depuis l'Antiquité.

De grandes avancées mathématiques - telles que les grammaires génératives, les algorithmes permettant de calculer les puissances d'un nombre, de convertir un nombre en binaire, les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci, etc. - ont été réalisées dans l'Inde ancienne par des linguistes et des poètes comme Pāṇini, Pingala, Virahanka, Gopala, Hemachandra, Halayudha et d'autres encore.

Le Nāṭyaśāstra de Bharata, vers 300 avant notre ère - Nāṭyaśāstra signifie « science de l'art dramatique » - était un ouvrage portant sur les mathématiques, la musique et la danse, qui influence encore aujourd'hui la manière dont ces trois disciplines sont pratiquées.

Bharata y décrivait les fréquences et les microtons encore employés aujourd'hui dans les rāgas indiens ; il expliquait comment accorder une vīṇā, comment classifier mathématiquement des rythmes complexes, et bien d'autres choses encore.

La musique et les mathématiques étaient considérées, pour l'essentiel, comme une seule et même discipline !

Futura : Je sais que vous êtes un musicien utilisant des tablas, la célèbre paire de deux petits tambours, un instrument de percussion originaire de l'Inde. Je sais aussi que grâce à votre grand-père, Purushottam Lal Bhargava, un célèbre érudit et spécialiste du sanskrit, vous êtes vous-même versé dans les œuvres poétiques dans cette ancienne langue indo-européenne considérée comme la langue sacrée et classique de l'Inde et qui est donc un peu l'équivalent du latin pour la civilisation occidentale.

Manjul Bhargava : Oui, j'en ai déjà parlé un peu plus haut, mais j'ai effectivement adoré le sanskrit dès que je l'ai découvert, parce que j'ai été stupéfait de constater à quel point cette langue était mathématique !

La phonétique y est décrite avec une telle précision et une telle rigueur scientifique que la prononciation de la plupart des phonèmes n'a pratiquement pas changé depuis des milliers d'années. Les méthodes de grammaire et de sandhi - c'est-à-dire la manière dont les sons se combinent - sont également extrêmement mathématiques.

Le sanskrit, le latin et le grec sont en effet des langues sœurs et constituent les langues classiques survivantes de la famille indo-européenne.

On dit que la littérature sanskrite est plus volumineuse que les littératures grecque et latine réunies ! Elle comprend des œuvres de philosophie, de mathématiques, d'astronomie, de chimie, de linguistique, etc., mais également de la poésie, des romans, du théâtre et bien davantage.

De même que le latin a donné naissance à de nombreuses langues comme le français, l'espagnol, l'italien, etc., le sanskrit a lui aussi donné naissance à des langues comme l'hindi, l'ourdou, le marathi, le bengali, le gujarati, le népalais, etc.

Futura : Le grand public, partout sur notre Planète bleue, est sans doute familier avec le fait que le système de numération indo-arabe, largement utilisé, est en fait né en Inde. Il sait probablement moins que le concept du zéro, bien qu'aperçu par les Babyloniens et les Mayas n'est devenu un nombre à part entière, avec lequel on peut effectuer des calculs, qu'en Inde, entre le V^e et le VII^e siècle, au moment en particulier où le mathématicien et astronome indien Brahmagupta pose ses règles de calcul algébrique avec le zéro. Il faudra attendre plusieurs siècles encore pour que les mathématiciens occidentaux « digèrent » ce concept et l'adoptent.

Il ne sait sans doute pas que le concept de zéro a conduit le mathématicien et astronome indien Bhāskara II (qui écrivait ses textes sous forme de vers poétiques sanskrits au XIIᵉ siècle) au concept mathématique de l'infini. Il considère en effet une quantité divisée par zéro comme une ananta-rāśi, une « quantité infinie ». Plus généralement, les mathématiciens indiens du passé étaient beaucoup plus à l'aise avec les concepts de zéro et d'infini que leurs collègues occidentaux héritiers des mathématiciens et philosophes grecs. Pour le concept d'infini, il faudra en fait attendre la fin du XIX^e siècle en Occident avec les travaux de Cantor, non sans mal d'ailleurs, pour que l'obstacle épistémologique disparaisse.

Comment expliquer cet écart entre les deux groupes de mathématiciens ? Pensez-vous que la philosophie indienne, telle qu'un Occidental peut l'étudier dans les textes de la Bhagavad-Gītā et des Upanishads traduits et commentés par Sri Aurobindo, a constitué un terrain favorable, un paradigme pour le développement de ces idées plusieurs siècles en avance sur les penseurs européens ?

Manjul Bhargava : Vous avez très bien formulé les choses ! Je suis d'accord avec tout ce que vous avez écrit.

Je pense en effet que cette différence venait de la philosophie classique.

Dans la philosophie indienne ancienne, l'état de shunyata, ou « état de zéro », constituait le but de la méditation : vider son esprit de toutes pensées et de toutes émotions.

Le concept philosophique de shunya, ou « zéro », a progressivement pénétré d'autres disciplines comme la linguistique, l'architecture et, finalement, les mathématiques.

De même, l'infini était fréquemment contemplé par les philosophes de l'Inde ancienne : l'Univers était décrit comme infini, l'esprit humain était infini, Dieu était infini.

Un célèbre vers ancien décrit comment, si l'on retire une quantité infinie de quelque chose d'infini, cela peut néanmoins rester infini - une idée dont nous parlons fréquemment dans les mathématiques d'aujourd'hui.

Futura : Toujours en rapport avec le concept d'infini, il y a un accomplissement spectaculaire des mathématiciens et astronomes indiens de l'école du Kerala vers le XV^e siècle et en particulier de Madhava de Sangamagramma, accomplissements qui sont devenus connus du grand public cultivé il y presque deux décennies par l'ouvrage du mathématicien d'origine indienne George Gheverghese Joseph.

Celui-ci montrait que Madhava de Sangamagramma, qui semble avoir bénéficié d'un génie comparable à son compatriote Srinivasa Aiyangar Ramanujan, était en possession de résultats particuliers, obtenus des siècles après lui et ses collègues du Kerala en Europe en utilisant les algorithmes généraux du calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Il connaissait en effet les développements en séries infinies de Gregory et Leibniz pour la fonction arctangente et ceux des fonctions sinus et cosinus généralement attribués à Mac-Laurin et Newton.

George Gheverghese Joseph évoquait même une possible influence partielle et restée cachée des travaux de Madhava de Sangamagramma sur Newton et Leibniz. Qu'en pensez-vous ?

Manjul Bhargava :​​​​​​​ Vous avez parfaitement décrit tout cela.

En particulier, Madhava a donné la première formule exacte connue pour π, après des siècles durant lesquels les mathématiciens n'avaient fourni que des approximations.

Il écrivit :

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ...

Une magnifique formule exacte pour π !

Oui, il est certainement possible, sinon probable, que certaines de ces idées soient parvenues en Europe grâce aux vastes réseaux commerciaux et aux voyages des missionnaires qui existaient à cette époque, notamment si l'on considère la similitude des résultats et le fait que les mêmes formules furent redécouvertes, puis étendues peu de temps après par Newton, Gregory, Leibniz et d'autres.

Cependant, je ne connais aucune preuve directe de cette transmission, et des recherches supplémentaires sont nécessaires.

Futura : Venons-en maintenant à un autre grand nom de la culture indienne présenté dans l'exposition, il s'agit de Acharya Pingala, un érudit, poète, grammairien et mathématicien indien qui semble avoir vécu vers III^e-II^e siècle av. J.-C. On retrouve avec lui une caractéristique importante de l'histoire des mathématiques indiennes : des méthodes abstraites qui émergent de problèmes concrets provenant de l'astronomie, de la poésie, de la linguistique et des calendriers. En l'occurrence, Pingala est tombé bien avant Blaise Pascal et Leibniz sur des considérations explicites de ce que nous appellerions aujourd'hui de l'analyse combinatoire et implicitement sur des structures que l'on peut mettre en connexion avec le calcul binaire, même s'il n'y pas de connexions connues entre les travaux de Leibniz et Pingala.

Remarquablement, Pingala a obtenu ses résultats précurseurs en réfléchissant sur des considérations de la poésie sanskrite. Pouvez-vous nous donner quelques explications à ce sujet ?

Manjul Bhargava : Oui, j'en ai déjà parlé un peu plus haut, mais pour résumer : comme de nombreuses langues, la poésie sanskrite possède une notion de syllabes accentuées et non accentuées.

Mais le sanskrit va plus loin : une syllabe accentuée est longue et une syllabe non accentuée est courte. De plus, une syllabe longue nécessite deux temps pour être prononcée, tandis qu'une syllabe courte n'en nécessite qu'un.

Une syllabe longue prend donc exactement deux fois plus de temps à prononcer qu'une syllabe courte.

Cela soulève de nombreuses questions mathématiques que Pingala et ses successeurs étudièrent de manière très approfondie. Ils résolurent ainsi d'importants problèmes mathématiques à partir de questions concernant la poésie.

Par exemple : combien existe-t-il de combinaisons de syllabes longues et courtes dans un vers de huit syllabes ? Qu'en est-il pour un vers de huit temps ? Ou encore pour un vers de huit syllabes dans lequel exactement trois syllabes sont courtes ?

Ce type de questions fut étudié par Pingala, puis par des poètes et linguistes ultérieurs comme Virahanka, Halayudha, Gopala, Hemachandra et beaucoup d'autres.

Ces recherches conduisirent à des découvertes combinatoires telles que les coefficients binomiaux et le Meruprastara de Pingala - aujourd'hui encore souvent appelé « triangle de Pascal », bien qu'il n'ait été découvert en Europe que près de deux mille ans plus tard - ainsi que les nombres de Virahanka - aujourd'hui souvent appelés nombres de Fibonacci, alors qu'ils ne furent découverts en Europe que près de cinq siècles plus tard - et bien d'autres résultats encore.

Les appellations commencent progressivement à évoluer dans les manuels scolaires. Par exemple, certains ouvrages parlent aujourd'hui de « nombres de Virahanka-Fibonacci ».

Mais, encore une fois, ce type de changement prend du temps.