Подъемная сила крыла, часть 2: парадокс д'Аламбера и модель Жуковского

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! На прошлой неделе в говорили о спорах и заблуждениях, касающихся подъемной силы крыла и ее возникновения. Сегодня вторая часть этой статьи – главным образом о теории создания этой силы, которую предложил Николай Егорович Жуковский. Но начнем мы не с модели Жуковского, а с парадокса, который установил еще в середине XVIII века французский ученый и энциклопедист Жан Лерон д'Аламбер.

Наш проект полностью некоммерческий и живет только за счет донатов неравнодушных людей. Мы будем рады и вашей поддержке! Каждый донат помогает нам выпускать контент и выкладывать его в открытом доступе.

Парадокс д'Аламбера: почему идеальная жидкость не дает сопротивления

Парадокс этот состоит в следующем: представим себе достаточно обтекаемое тело, движущееся с постоянной скоростью в несжимаемой и невязкой жидкости. Или (что то же самое) представим, что на неподвижное тело набегает безграничный поток жидкости, движущейся с постоянной скоростью. Оказывается, что сумма всех сил давления, действующих на тело со стороны жидкости, в точности равна нулю. А это означает, что сила лобового сопротивления, направленная по потоку, будет равна нулю.

И подъемная сила, направленная перпендикулярно потоку, тоже будет равна нулю.

В качестве первого примера рассмотрим безвихревое обтекание цилиндра.

Перед цилиндром поток тормозится — и по принципу Бернулли здесь образуется зона повышенного давления.

По бокам от цилиндра трубки тока сжимаются, скорость потока увеличивается, а давление падает.

Но самое интересное при таком обтекании происходит сзади: скорость потока здесь мала, а значит, давление снова оказывается повышенным. Распределение давления получилось симметричным — и поэтому суммарная аэродинамическая сила равна нулю.

И хотя картина обтекания, построенная в рамках этой модели, выглядит весьма убедительной, в реальности мы знаем, что обтекание цилиндра происходит с лобовым сопротивлением. Дело в том, что при достаточно высоких скоростях поток сзади цилиндра срывается и образуется турбулентная зона — так что обтекание уж точно не является симметричным.

Посмотрим теперь на обтекание профиля в форме тонкой дуги. И мы неожиданно видим не только зону пониженного давления над крылом, но и две области низкого давления под кромками крыла.

А зоны повышенного давления расположены не только под крылом, но и над кромками крыла. И в результате подъемная сила такого профиля в этой модели снова равна нулю.

А теперь посмотрим на обычный профиль. Над ним, конечно, возникает зона пониженного давления. Но давление понижается также под задней кромкой и повышается над ней.

Почему же это происходит? В этой математической модели линия тока, разделяющая потоки воздуха под крылом и над крылом, сходит не с задней кромки крыла, а с точки, которая расположена на верхней поверхности крыла. И в этой точке скорость воздуха очевидно равна нулю, а давление — максимально: здесь образуется зона повышенного давления.

А теперь посмотрим на линию тока, которая вынуждена огибать заднюю кромку крыла: здесь воздух резко разворачивается. Это может происходить только потому, что здесь давление сильно понижено.

Но ясно, что это только математическая модель: физически линия тока, разделяющая потоки над крылом и под крылом, должна сходить с задней кромки крыла. И здесь мы переходим к модели Жуковского.

Модель Жуковского: от цилиндра — к профилю крыла

Николай Егорович Жуковский не был авиаконструктором. Однако его называют отцом русской авиации, потому что он разработал теорию крыла, построил первую аэродинамическую трубу и создал Центральный аэрогидродинамический институт — ЦАГИ.

Чтобы понять теорию Жуковского, нам нужно еще раз вспомнить два условия:

1. Линия тока должна сходить с задней кромки крыла.

2. Линия тока, подходящая спереди, должна подниматься снизу.

Чтобы прояснить эти требования, мы сделаем опыт с нехитрым планером, сделанным из двух склеенных стаканчиков. Запускаем планер с помощью закрученной вокруг него резины — он взлетает вверх и спускается по наклонной траектории.

Замедлим и сделаем трассировку: спуск происходит с постоянной скоростью — значит, аэродинамическая сила в точности уравновешивает силу тяжести.

А на скорости 480 кадров в секунду мы хорошо видим быстрое вращение планера — и именно оно приводит к появлению подъемной силы.

Когда цилиндр вращается, он вовлекает в это вращение окружающий воздух. Если мы теперь наложим на эту циркуляцию равномерный поток воздуха, то над цилиндром скорости складываются, а под цилиндром — вычитаются. Получается, что цилиндр обтекается сверху потоком с большей скоростью, чем снизу.

И в модели идеальной жидкости картина обтекания выглядит вот так: здесь появляются восходящая линия тока перед цилиндром и нисходящая — за цилиндром, о которых мы уже не раз говорили. И по принципу Бернулли: над цилиндром скорость обтекания больше — значит, давление меньше, чем под цилиндром. В результате на цилиндр действует направленная вверх подъемная сила.

Небольшое художественное отступление

Наверное, у многих уже возник вопрос: почему мы красным цветом изображаем минимальное давление, а зеленым — максимальное? Вроде бы естественно эту цветовую шкалу использовать ровно наоборот.

Дело в том, что для рисования обтекания мы используем программу, которая предназначена для расчета магнитных полей. И вообще, это картина цилиндрического сверхпроводника с протекающим по нему током во внешнем однородном магнитном поле. Математические уравнения, описывающие обтекание цилиндра и магнитное поле, совершенно одинаковы.

А цвета поменялись, потому что вместо скорости мы рисуем на самом деле магнитное поле. Там, где магнитное поле максимально, максимально и давление магнитного поля. А при обтекании там, где скорость максимальная — давление минимально. Вот и получается все наоборот.

И сразу предвосхитим еще один вопрос: сейчас мы рассматриваем обтекание цилиндра, а статья про обтекание крыла – а как одно соотносится с другим?

Тут мы и переходим к заслугам Жуковского, который с помощью развитых к тому времени методов теории функции комплексного переменного — с помощью конформных преобразований — из круглого цилиндра получил знакомый нам профиль крыла.

Гений Жуковского состоит в том, что он использовал очень простую комплексную функцию z + 1/z. Эта функция преобразует единичную окружность, показанную синим цветом, в красный отрезок.

Если радиус окружности изменить, отрезок превратится в эллипс.

А если центр окружности слегка сдвинуть, при правильном подборе этого сдвига эллипс преобразуется в кривую, очень похожую на профиль крыла самолета.

В результате этих математических преобразований Жуковский — а вслед за ним и мы, в программе Vizimag — получили вот такую картину, где линия тока сходит с задней кромки, а добавленная циркуляция создает подъемную силу.

Откуда берется циркуляция — и можно ли ее увидеть?

И все-таки: мы сейчас рассказали про чистую математику. А на самом деле вокруг крыла самолета действительно циркулирует воздух? Жуковский открыл циркуляцию на кончике пера, но мы действительно можем наблюдать эти вихри при определенных условиях.

Чтобы понять, как это возможно, изобразим присоединенные вихри вокруг крыла. Теперь учтем, что реальное крыло имеет конечный размах: давление под крылом больше, чем над крылом, — и воздух на концах крыла перетекает с нижней поверхности на верхнюю, образуя концевые вихри.

Эти вихри срываются набегающим потоком — и в результате за концами крыла возникает спутный след из двух вихрей, вращающихся в противоположные стороны. Их можно видеть, когда самолет пролетает через край облака или садится в полосу тумана.

А еще наличие циркуляции воздушного потока вокруг крыла позволяет измерить подъемную силу без использования аэродинамических весов — методом «пол-потолок». Для этого измеряют скорость наверху и внизу аэродинамической трубы, затем находят циркуляцию как интеграл от скорости по замкнутому контуру. Ну а затем аэродинамическая сила находится по формуле Жуковского.

Условие Кутта-Жуковского

Хорошо, вокруг крыла есть циркуляция. А чем определяется величина этой циркуляции? Потому что по формуле Жуковского именно эта величина определяет подъемную силу крыла для данного профиля, данного угла атаки и данной скорости набегания потока.

Исходя из математической модели, ответ находится легко: чтобы у нас было хорошее обтекание крыла, нужно чтобы линия тока сходила с задней кромки — мы об этом уже говорили. А это условие однозначно определяет величину циркуляции. И из этого условия (которое еще называется условием Кутта-Жуковского) мы ее и определяем.

Это все математика. Но откуда берется это закручивание потока вокруг крыла? Стоит отметить, что мы пока обсуждали модель несжимаемой и невязкой жидкости. А все эти вихри, очевидно, должны порождаться какими-то вязкими силами. Это требует усложнения модели, но в этой статье мы за это не будем браться.

В первой части статьи было видео из Кембриджа, снятое в аэродинамической трубе, где воздушный поток периодически подсвечивался короткими дымовыми импульсами. На этом же видео попробуем показать, как это возникает эта самая циркуляция.

Обтекание под этим углом атаки все еще идет без срыва. Но посмотрим на заднюю кромку крыла: видно, что течение за ней не плавное — там все время происходит генерация вихрей, их сносит по потоку, но они появляются снова и снова.

Течение у нас дозвуковое, поэтому эти вихри определяют структуру потока не только за крылом, но и перед ним — и со всех сторон от него. А значит, именно они и создают циркуляцию вокруг крыла, потому что никаких других причин для этого нет.

Можно продолжать задавать вопросы про эти вихри: какие неустойчивости их порождают, в чем здесь роль сил вязкости и так далее, углубляясь до бесконечности. Мы здесь этого делать не будем, но будем рады, если в комментариях вы попробуете «раскрутить» хотя бы некоторые из этих вопросов. Ну а напоследок, как всегда, наш традиционный вопрос для вас.

Вопрос напоследок: почему вихри срываются с закрылков, а не с концов крыла?

Когда самолет садится в сырую погоду, можно наблюдать, как с его крыла срываются спутные вихри — но они образуются не на концах крыла, а на концах закрылков. Попробуйте объяснить, почему это происходит.

К сожалению, Андрей Щетников и Алексей Колчин физически не успевает отвечать на комментарии на всех площадках GetAClass. Поэтому в комментариях предлагаем вам обсудить статью друг с другом, а если вам хочется поговорить напрямую с нашими ведущими, милости просим в наше сообщество на YouTube!