[Перевод] Как из двух кубиков выбить число Пи?

В этой статье я расскажу о самом абсурдном физическом проявлении числа π, какое мне доводилось встречать.

Представьте, что у нас есть два кубика — большой и малый. Большой движется справа в сторону малого, который изначально неподвижен. Слева от обоих кубиков расположена стена. В определённый момент большой кубик толкает малый, тот летит в стену, рикошетит и на обратном пути врезается в своего обидчика, снова отскакивая от него к стене. В результате множества таких повторяющихся столкновений импульс движения большого кубика меняется на противоположный, и в конечном итоге он начинает удаляться от стены быстрее малого.

Если масса первого (большого) кубика будет в 100^N раз больше массы второго — например, в 1 000 000 раз — вскроется поразительный факт. Общее число столкновений будет начинаться с тех же цифр, что и число π. В нашем примере это 3141 столкновение.

Если же масса первого кубика будет больше массы второго в триллион раз, то столкновений произойдёт уже 3 141 592, причём почти все в виде одной мощной краткосрочной серии. Конечно, здесь заложено много идеалистичных допущений — например, отсутствие потерь энергии при трении и столкновениях, а также игнорирование релятивистских эффектов, возникающих при столь огромных разницах масс. Это чисто классическая задачка из физики.

Почему же так происходит? Почему π проявляется в столь неожиданном контексте и столь неожиданным образом?

Сегодняшний урок в первую очередь посвящён решению задач с помощью фазового пространства, также называемого пространством конфигураций. Будьте уверены — здесь вы не просто познакомитесь с неким загадочным алгоритмом вычисления π, но и освоите подход, который можно применять для решения задач во многих других сферах.

Закон сохранения энергии и импульса

Начнём с вопроса о том, как вычислить скорость кубиков после их столкновения? В этом нам поможет закон сохранения энергии и импульса.

Обозначим массы кубиков как m₁ и m₂, а их скорости — как v₁ и v₂. Именно эти скорости и будут переменными, варьирующимися в течение всего процесса.

В любой отдельный момент времени общая кинетическая энергия равна ½m₁(v₁)²+ ½m₂(v₂)². Несмотря на то, что v₁ и v₂ в результате столкновения кубиков будут меняться, значение этого выражения должно оставаться постоянным.

Общий импульс двух кубиков равен m₁v₁ + m₂v₂. При столкновении он тоже остаётся неизменным, но может меняться, когда второй кубик отскакивает от стены. В реальности этот кубик передавал бы стене часть своего импульса. Но поскольку мы идеализируем условия, представляя стену как имеющую бесконечную массу, подобная передача импульса никак на неё не влияет.

Итак, у нас два уравнения и два неизвестных. Чтобы всё это можно было наглядно применить, мы изобразим уравнения графически.

Фазовое пространство скоростей

Для начала сосредоточимся на уравнении энергии. Поскольку скорости v₁ и v₂ постоянно меняются, можно представить это уравнение на координатной плоскости, где ось x отвечает за величину v₁, а ось y — за v₂. Тогда каждая отдельная точка на этой плоскости будет кодировать пару скоростей наших кубиков.

Переходы в фазовом пространстве

На нашей фазовой диаграмме график уравнения энергии ½m₁(v₁)²+ ½m₂(v₂)² принимает форму эллипса. Каждая точка на этом эллипсе задаёт пару скоростей, которые подчиняются закону сохранения энергии. То есть какую бы точку эллипса мы ни взяли, общая кинетическая энергия системы будет одинаковой.

В нашем фазовом пространстве график уравнения сохранения энергии выглядит как эллипс.

Но поскольку мы охотимся за π, давайте немного изменим координаты, превратив эту фигуру в идеальный круг. Вместо того, чтобы откладывать по оси x скорость v₁, пусть координатой будет √m₁v₁. В нашем примере это означает, что мы растянем график по горизонтали в √10 раз. Аналогичным образом мы будем представлять через координату y величину √m₂v₂.

Теперь, если взглянуть на уравнение сохранения энергии, оно примет вид ½(x²+y²) — а это и есть уравнение окружности! (При этом радиус круга будет зависеть от общей кинетической энергии системы).

Изменив значения наших осей, мы растянули эллипс в круг, что на шаг приблизило нас к разгадке тайны числа π.

В самом начале, когда первый кубик скользит влево, а второй неподвижен, мы находимся в самой левой точке окружности — где координата x отрицательна, а y равна нулю. Но что происходит после первого столкновения? Как это узнать? Закон сохранения энергии гласит, что мы обязаны перепрыгнуть в какую-то другую точку на этом же круге. Но в какую именно?

И здесь мы воспользуемся законом сохранения импульса! Согласно ему до и после столкновения величина m₁v₁+m₂v₂ должна оставаться неизменной.

В наших новых координатах закон сохранения импульса можно записать в виде выражения √m₁x +√m₂y = const.⁠, которое представляет уравнение прямой с угловым коэффициентом √m₁/m₂⁠. Положение этой линии на графике зависит от значения постоянного импульса. Но мы точно знаем, что она должна проходить через первую точку, а значит, уже привязана к конкретному месту.

Эта зелёная линия объединяет в себе все пары скоростей, которые дают тот же общий импульс, что и в начальной системе.

Для лучшего понимания поясню: на этой линии находятся все остальные пары скоростей, обладающие тем же импульсом, равно как и на окружности находятся все остальные пары, имеющие одинаковую энергию.

И смотрите, что получается: эти два ограничения сужают наш выбор всего до одной точки, в которую можно перепрыгнуть:

Окружность энергии и прямая импульса пересекаются всего в двух точках. Первая — это наше начальное состояние, а значит, вторая как раз показывает скорости кубиков после столкновения.

И оно вполне логично: в этой новой точке координата x⁠ становится чуть менее отрицательной, а y⁠ уходит в минус. В физическом мире это в точности отражает то, что большой кубик немного замедлился, а маленький стремительно полетел в сторону стены.

Когда второй кубик отскакивает от стены, его скорость остаётся прежней, но её направление меняется с отрицательного на положительное. На диаграмме этому движению соответствует зеркальное отражение относительно оси x, поскольку координата y⁠ просто умножается на -1⁠.

И следующее столкновение снова соответствует прыжку вдоль линии с наклоном √m₁/m₂, поскольку именно в виде движения по такой линии выражается закон сохранения импульса на нашей диаграмме.

Отсюда вы уже можете в целом представить, как именно столкновения кубиков соотносятся с прыжками по окружности на нашем рисунке.

Весь процесс продолжается до тех пор, пока не станет ясно, что кубики больше никогда не встретятся. Это произойдёт, когда скорости кубиков окажутся положительны (то есть оба будут двигаться вправо), но у большого она будет выше. На нашей схеме это состояние отражает треугольная область:

Каждая точка в треугольной области представляет пару скоростей кубиков, при которой будущие их столкновения становятся невозможны.

Таким образом, кубики продолжают сталкиваться до тех пор, пока их скорости не окажутся в этой области.

Сила фазовых диаграмм

То, что мы сейчас нарисовали, называется «фазовой диаграммой». В математике это простой, но мощный инструмент, позволяющий закодировать состояние системы (в нашем случае скорости кубиков) в виде одной точки в абстрактном пространстве.

Главная сила этого метода в том, что он превращает динамические задачи в геометрические. Здесь представление о том, что все возможные пары скоростей подчиняются закону сохранения энергии, наглядно отображается в виде геометрического объекта — окружности. А подсчёт общего числа столкновений сводится к банальному подсчёту прыжков вдоль линий, которые поочерёдно меняются с вертикальных на диагональные.

Подсчёт столкновений

Но наш главный вопрос всё ещё актуален. Почему, когда отношение масс представляет собой степень числа 100, количество шагов в точности совпадает с цифрами числа π?

Если вы внимательно изучите рисунок, то можете заметить (возможно, не сразу), что дуги между точками на окружности по длине выглядят примерно одинаковыми.

На первый взгляд это не очевидно. Но если это всё же так, значит, достаточно вычислить длину всего одной такой дуги, чтобы понять, сколько столкновений потребуется для полного обхода окружности и достижения «финишной области».

И разобраться здесь поможет старая добрая теорема о вписанном угле. Она гласит: какой бы угол вы ни построили по трём точкам окружности (P₁, P₂ и P₃), он всегда будет ровно вдвое меньше угла, образованного точкой P₁, центром окружности и точкой P₃.

При этом P₂ может находиться в любой части окружности за исключением дуги между P₁ и P₃.

Итак, теперь взглянем на наше фазовое пространство и сосредоточимся на этих трёх точках:

Напомним, что вертикальный прыжок между координатами соответствует отскоку маленького кубика от стены, а второй прыжок — вдоль линии с наклоном √m₁/m₂ — столкновению кубиков с сохранением импульса.

Обозначим угол между этими линиями как Θ. Тогда, согласно теореме о вписанном угле, длина дуги между двумя нижними точками будет равна 2Θ (в радианах).

Заметьте, поскольку все диагональные линии импульса параллельны, та же логика говорит нам, что и все дуги должны быть равны 2Θ.

Каждое столкновение создаёт дугу, охватывающую очередные 2Θ радиан круга.

Процесс останавливается, как только мы оказываемся в «финишной области». Это означает, что оба кубика движутся вправо, но скорость малого ниже. В геометрическом смысле это можно представить как остановку в момент, когда следующая дуга длиной 2Θ уже бы наложилась на пройденный путь.

Иными словами, кубики столкнутся ровно столько раз, сколько можно прибавить величину 2Θ к самой себе, пока общая сумма не превысит 2π радиан.

Если сказать ещё проще, то нам нужно найти наибольшее целое число, на которое можно умножить Θ и не превысить значение π.

К примеру, если Θ равно 0,01 радиан, то умножение на 314 даст результат чуть меньше π, а умножение на 315 уже слегка превысит π.

Получается, ответ будет 314. Значит, если бы отношение масс кубиков давало угол Θ=0,01, то они бы столкнулись 314 раз.

Вычисление угла Θ

Теперь вы знаете, что нам нужно делать. Давайте вычислим значение Θ, предположив, что соотношение масс равно 100 : 1. Как мы помним, угловой коэффициент этой линии постоянного импульса равен √m₁/m₂. В нашем примере на рисунке ниже, где масса большого кубика составляет 100 кг, этот наклон составляет -10.

Это означает, что тангенс угла Θ (отношение противолежащего катета к прилежащему) равен отношению «пробега» к отрицательному «подъёму», что в данном примере составляет 1/10. Таким образом, Θ = arctan(1/10).

В общем виде формула выглядит так: Θ = arctan(√m₂/√m₁).

Если вы посчитаете результат в калькуляторе, то увидите, что арктангенс любого малого значения очень близок к самому этому значению.

Например, если вычислить arctan(1/100) — что соответствует массе большого кубика в 10 000 кг — результат окажется невероятно близок к 1/100.

На самом деле разница настолько мизерная, что в контексте нашего главного вопроса его вполне можно округлить до 1/100. И тогда, если мы по аналогии с предыдущим примером прибавим это число к себе 314 раз, то результат также впритык подберётся к π, но не превысит его.

Напомню, что всё это просто способ подсчитать, сколько прыжков по фазовой диаграмме потребуется для попадания в финишную область. И уже по количеству прыжков мы понимаем, сколько раз столкнутся кубики. Итак, полученный результат объясняет, почему при соотношении масс 1:10 000 происходит именно 314 столкновений.

То же касается и отношения 1 : 1 000 000, которое даст на нашей схеме угол Θ = arctan(1/1000), очень близкий к 1/1000. И если мы снова зададимся вопросом, на какое максимальное число можно умножить этот угол Θ, не превышая π, ответ будет таким же, как и для круглого значения 1/1000 — а именно 3141.

То есть мы получили первые четыре цифры π. И объясняется это тем, что его десятичная запись как раз показывает, сколько в нём содержится тысячных долей. Это также полностью проясняет, почему при отношении масс 1 000 000 : 1 кубики сталкиваются 3141 раз.

Всё это строится на том факте, что арктангенс малого числа очень близок к самому этому числу. Иначе говоря, тангенс малого значения примерно равен самому этому значению.

И для этого есть одно красивое интуитивное объяснение. Если посмотреть на единичную окружность, то тангенс любого заданного угла — это просто высота маленького треугольника, поделённая на его ширину.

Когда этот угол становится совсем крошечным, ширина треугольника практически равна единице, а высота — почти совпадает с длиной дуги окружности, которая, по определению, и равна Θ.

Если говорить строже, разложение функции tan(Θ) в ряд Тейлора показывает, что погрешность этой аппроксимации имеет всего третью степень. Так, например, значение tan(1/100) отличается от 1/100 на ничтожную величину порядка 1/1 000 000.

Поэтому, даже если мы сделаем 314 шагов с таким углом, то разница, возникающая из-за расхождения между истинным значением arctan(1/100) и аппроксимацией 0,01, просто не успеет накопиться настолько, чтобы хоть на что-то повлиять.¹

Заключение

Давайте немного абстрагируемся и подытожим. Когда кубики сталкиваются, траекторию изменения их скоростей можно найти простым проведением прямой линии через окружность на фазовой диаграмме скоростей. При этом каждая кривая на графике наглядно отображает один из законов сохранения.

Самое же примечательное в том, что именно закон сохранения энергии сеет то самое «круглое семя», из которого в конечном счёте и расцветает число π, обнаруживаемое нами в итоговом подсчёте.

Если говорить точнее, то благодаря свойствам вписанных углов мы движемся по окружности одинаковыми шагами, каждый раз смещаясь ровно на угол, обозначенный нами как 2Θ.

Исходя из этого, можно переформулировать задачу, и вместо подсчёта столкновений просто искать, сколько раз нужно прибавить угол 2Θ к самому себе, пока общая сумма не начнёт превышать 2π.

При Θ равном 0,001 ответ на этот вопрос будет начинаться с тех же цифр, что и число π.

А поскольку при малых значениях arctan(x) почти идеально заменяется на x, то при отношении масс, равном любой степени 100, угол Θ оказывается достаточно близок к своему арктангенсу, чтобы привести к тому же итоговому результату.

Хочется ещё раз проговорить, что конкретно мы смогли сделать с помощью фазового пространства. Всё же пройденный урок чрезвычайно полезен для самых разных разделов математики, начиная с дифференциальных уравнений и теории хаоса, заканчивая другими направлениями динамики. Представление состояния системы в виде одной точки в абстрактном пространстве позволяет вам переводить сложные динамические задачи в геометрический формат.

Я повторяюсь лишь для того, чтобы вы вынесли из этого урока не просто красивую головоломку с неожиданным появлением числа π. Мне важно, чтобы этот сюрприз стал для вас отражением гораздо более глубокой математической взаимосвязи.

И если это решение оказалось для вас удовлетворительным, то мне жаль. Ведь существует и другой взгляд на эту задачу — ещё более остроумный и изящный. Его сформулировал математик Гальперин в своей работе, посвящённой этому феномену. В ней он предлагает провести поразительную параллель между движением кубиков и поведением луча света, прыгающего между двумя зеркалами.

Поверьте, самый вкусный материал по теме я приберёг напоследок, так что до встречи на следующем уроке.

Сноски

1. Эта разница между arctan(x) и x могла бы стать проблемой для нашего итогового подсчёта в одном случае: если на каком-то этапе среди первых 2n знаков числа π последние n цифр оказались бы девятками. Но вероятность этого крайне мала.

К примеру, среди первых 100 миллионов знаков π самая длинная последовательность идущих подряд девяток составляет всего 8 штук, тогда как для нарушения наших подсчётов понадобилась бы цепочка из 50 миллионов!

Тем не менее доказать это очень сложно. Эта задача напрямую связана с открытым вопросом о том, является ли π «нормальным» числом (грубо говоря, его цифры ведут себя как абсолютно случайная последовательность). В статье Гальперина это утверждение так и осталось на уровне гипотезы — подробнее можно почитать в её разделах 9 и 10. ↩