Случайная величина, физика и мир

Альберт Эйнштейн при разработке теории броуновского движения был убежден в детерминизме молекулярно-кинетической теории. Ирония судьбы в том, что другие работы Эйнштейна обосновывали необходимость введения квантования энергии. Тем самым они сыграли важную роль в становлении квантовой механики и признании невозможности использования классической механики на микроуровне. Однако Эйнштейн не изменил своего убеждения, он по-прежнему считал, что полная физическая теория обязана быть детерминированной, и поэтому наличие вероятностей в квантовой механике связано с ее неполнотой.

Позиция Эйнштейна сыграла положительную роль в дальнейшем развитии квантовой механики, поскольку обсуждение этого вопроса привело к появлению неравенств Белла и постановке новых интересных экспериментов. Однако наличие стохастичности в квантовой механике осталось в силе, и поэтому в настоящее время требуется более гибкая позиция. Рассмотрена позиция В. В. Налимова о использовании языка детерминизма и вероятностей при описании мира и обсуждается связь такой позиции с экспериментальной физикой. С одной стороны, трудно представить существование случайной величины, но, с другой стороны, экспериментальные исследования показывают наличие устойчивых стохастических закономерностей.

• Введение

• Альберт Эйнштейн: Вероятность есть признак неполной теории

• Случайная величина и мир

• Случайная величина и экспериментальная физика

• Обсуждение

• Список литературы

Введение

При описании стохастичности в физических теориях используются теория вероятностей. Например, в стохастическом уравнении Ланжевена присутствует случайная сила, которая обычно моделируется белым шумом, а в квантовой механике правило Борна задает распределение вероятностей для проводимых измерений. Эти вопросы рассмотрены в предыдущих статьях 'Как движется броуновская частица при отсутствии измерений?' и 'Достоверность экспериментальных измерений в квантовой механике', а в этой статье будет обсуждена связь теории вероятности и мира. Другими словами, речь пойдет о случайных величинах, которые используются для описания стохастических явлений.

Теория вероятностей принадлежит математике и поэтому возникает вопрос о связи математического формализма с физическими процессами. Давид Гильберт в шестой проблеме поставил в том числе вопрос об аксиоматизации вероятности в статистической механике:

'Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов.'

В настоящее время главенствующую роль в теории вероятностей играет аксиоматизация Колмогорова, которая, однако, не дает ответа на вопрос, чему соответствует математическая вероятность в реальном мире. Существуют много приложений теории вероятностей и поэтому есть разные интерпретации (см. обзор 'Интерпретации вероятности'). Для физики лучше всего подходит частотная интерпретация вероятности. В свое время Рихард фон Мизес хотел аксиоматизировать частотную вероятность, но на этом пути осталось много нерешенных проблем. Поэтому в физике частотная интерпретация остается на уровне интуиции и ожиданий, и в этом смысле проблема Гильберта о связи вероятности с физики осталась открытой.

При обсуждении вероятностей появляется вопрос о их связи со знанием и незнанием человека. Так, при использовании теории вероятностей в принятии решений вероятность иногда связывается с уровнем знания человека. Такие вероятности называются субъективными, и, например в физике позицию субъективных вероятностей отстаивал Эдвин Джейнс (см. статью 'Эдвин Джейнс: Принцип максимума энтропии'). Однако физические теории считаются объективными, и это нельзя совместить с субъективными вероятностями. Лучше всего к объективным вероятностям подходит частотная вероятность, однако вопрос в том, как можно обосновать ее введение.

Общая проблема заключается в том, что трудно представить существование случайной величины в мире, поскольку интуитивно ожидается наличие механизма появления случайных событий. Например, в броуновском движении таким механизмом являются флуктуации. Такая интуиция ведет к крайней позиции, представленной во взглядах Эйнштейна - введение случайной величины в физическую теорию является признаком неполноты теории. В настоящее время требуется более гибкая позиция и поэтому рассмотрены взгляды Налимова на вероятность, а потом стохастичность и детерминизм обсуждаются с позиции экспериментальной физики.

Альберт Эйнштейн: Вероятность есть признак неполной теории

Рассмотрим процесс бросания кубика на основе классической механики. Бросание кубика является детерминированным процессом, но незнание начальных условий, а также всех деталей взаимодействия кубика не позволяет предсказать, какая грань кубика выпадет. Другая возможность связана с появлением неустойчивости в динамике движения кубика (динамический хаос). Однако в обоих случаях система остается детерминированной, и таким образом есть объяснение механизма появления случайных величин. Тем самым устойчивость частот выпадения событий считается понятной.

Эйнштейн до конца жизни считал, что физическая теория должна быть детерминированной. Патрик Бирн в статье 'Статистические и причинно-следственные концепции в ранних работах Эйнштейна' проанализировал ранние работы Эйнштейна по статистической механике. В статье говорится, что использование вероятностей Эйнштейном сопровождалось его убеждением в существовании полной детерминированной теории. Например, статья Эйнштейна 'Теория основ термодинамики' (1903 год) начинается с такого утверждения:

'Пусть система изолирована, т. е. взаимодействие рассматриваемой системы с другими системами отсутствует. Тогда ясно, что состояние системы в определенный момент времени однозначно определяет изменение системы в следующий элемент времени.'

Вероятности у Эйнштейна появляются в силу невозможности использования исходной системы детерминированных уравнений, и вероятности трактуются как статистика поведения огромного количества частиц. Отмечу, что такая точка зрения была основной при создании молекулярно-кинетической теории и классической статистической механики.

Однако последующее развитие физики, в котором другие работы Эйнштейна сыграли большую роль, привело к становлению квантовой механики и квантовой статистики. Так, Эйнштейн был одним из первых сторонников введения представления о квантовании энергии, что само по себе доказывает невозможность использования классической механики в микромире. В созданной квантовой механике отсутствовал детерминизм, однако Эйнштейн не изменил свою позицию по отношению к вероятностям.

Это обстоятельство привело к расхождению взглядов Эйнштейна с позицией других физиков. Оно подчеркивается в статье Бирна, а также в статье Макса Борна 'Статистические теории Эйнштейна', в которой в том числе хорошо раскрывается роль Эйнштейна в становлении квантовой механики:

'Кажется, его убеждением всегда было и остается до сих пор, что наиболее глубокие законы природы причинны и детерминистичны, что вероятность необходима только для того, чтобы прикрывать наше невежество, когда нам приходится иметь дело с большим числом частиц, и что только глубина этого невежества выдвигает статистику на передний план.'

В 1949 году в честь семидесятилетия Эйнштейна вышел сборник статей о вкладе Эйнштейна в науку. В статье Макса Борна, упоминавшейся выше, и статье Вольфганга Паули 'Вклад Эйнштейна в квантовую теорию' особо подчеркивалась роль Эйнштейна в развитии статистических представлений в физике, которые сыграли большую роль в становлении квантовой механики. В то же время в них выражалась разница в позициях по отношению к квантовой механике. Приведу еще пару цитат из статьи Борна:

'Я не нашел у него никакого определенного ответа на вопрос: «Что такое вероятность?»; он не принимал также участия в дискуссиях, разгоравшихся по поводу определения Мизеса и других подобных попыток. Я предполагаю, что он отклонял их как метафизические спекуляции или даже подшучивал над ними. Сначала он использовал вероятность в качестве умственного орудия для исследования природы точно так же, как любой другой научный метод.'

'Нынешний Эйнштейн изменился. Я приведу здесь отрывок из его письма, которое я получил несколько лет назад (7 ноября 1944 года): «В нашем научном ожидании мы выросли антиподами. Ты веришь в Бога, играющего в кости, а я — в полную закономерность в мире чего-то объективно существующего, и эту закономерность я пытаюсь уловить дико спекулятивным способом».'

В заключительной статье сборника 'Замечания к статьям' Эйнштейн таким образом сформулировал свою позицию:

'Оба автора [Паули и Борн] с осуждением относятся к тому, что я отвергаю основную идею современной статистической квантовой теории. Но я все же не верю, что такая фундаментальная концепция может служить надлежащей основой для всей физики в целом.'

'Принципиально неудовлетворительным в этой теории, на мой взгляд, является ее отношение к тому, что я считаю высшей целью всей физики: полному описанию реального состояния произвольной системы (существующего, по предположению, независимо от акта наблюдения или существования наблюдателя).'

Другими словами, Эйнштейн не мог представить существование случайной величины в природе, он по-прежнему считал, что полная теория должна быть детерминированной. Как уже отмечалось, критика Эйнштейна сыграла полезную роль в дальнейшем развитии квантовой механики. Появление неравенств Белла привело к постановке новых экспериментальных исследований, см. хорошее изложение в популярной форме в книге 'Как хиппи спасли физику'. Однако новые эксперименты подтвердили существующий формализм квантовой механики и оставили наличие стохастичности на фундаментальном уровне. Это означает, что в настоящее время требуется более гибкая позиция.

Случайная величина и мир

В статье Налимова 'Почему мы пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего мира' есть интересное сопоставление между собой языка детерминизма и языка на основе вероятности. Статья начинается кратким изложением истории детерминизма и случайности. Налимов трактует детерминизм как установку на использование логики и причинно-следственных связей. Он прослеживает отрицательное отношение к случайности в европейской культуре (Аристотель, схоласты, Кант) и становление идеала детерминизма в классической физике. В философии Налимов отмечает Гегеля (Наука логики), который не отвергал случайность, но понять Гегеля невозможно. С другой стороны, разбирается вхождение вероятностей в современную науку. Оно началось с азартных игр, а также с погрешностей измерения.

Большой раздел статьи посвящен использованию математической статистики. В нем обсуждаются логические трудности введения вероятностей и пути их преодоления при использовании языка математической статистики:

'Как удалось построить такой язык? Случайность нельзя ввести непосредственно в систему логических суждений – система немедленно окажется отягченной грубыми противоречиями. Пришлось создать систему теоретических построений, порождающих понятия, в рамках которых возможно логически четкое описание случайных явлений. Такими понятиями оказались: «генеральная совокупность», «выборка», «вероятность», «функция распределения», «независимые наблюдения»... Эти четко определенные понятия и логические высказывания, построенные над ними, лишены противоречий.'

Большую роль в этом построении играет наблюдаемая устойчивость частот статистических событий, которая, однако, остается необъясненной. В последнем разделе 'Онтология случая' Налимов отмечает проблематичность попытки найти случайную величину в мире:

'Всякие попытки осмыслить онтологию случая ведут к явно несерьезным высказываниям. Видимо, лучше говорить о том, что случайность – это не онтологическая, а гносеологическая категория. Или так же, как и причинность, – это есть просто одна из двух категорий, порождающих два разных языка для описания мира. В обоих случаях мы имеем дело не с представлениями, возникшими как зеркальное отражение реальности, а с некоторыми абстракциями, построенными над наблюдениями о внешнем мире. Абстракциями, порождающими две разные грамматики для упорядочивания и осмысления результатов наших наблюдений.'

Таким образом, Налимов признает отсутствие четкого ответа, что такое вероятность в реальном мире, но он подчеркивает, что это не мешает успешному использованию теории вероятностей в науке:

'Приходится просто признать, что сейчас мы вынуждены пользоваться языком, включающим такие понятия, физический смысл которых, если над ними серьезно задуматься, остается неясным. И как раз с помощью таких понятий удается описывать мир и овладевать им. В этом удивительная особенность языка науки. Почему обо всем этом не говорить прямо?'

В этом отношении также интересно высказывание Борна по поводу слов Эйнштейна 'Ты веришь в бога, играющего в кости':

'я хочу сделать одно замечание, используя образный язык самого Эйнштейна: если Бог и сотворил мир в виде совершенной механической системы, то нашему несовершенному разуму он позволил по меньшей мере столько, что для предсказания малой части процессов в этой системе мы, безусловно, не должны решать бесчисленные дифференциальные уравнения, а с надеждой на успех можем взять игральные кости. То, что это так, я узнал вместе с многими из моих современников от самого Эйнштейна. Я думаю, что ситуация сильно не изменилась из-за введения квантовой статистики. Мы, смертные люди, все еще играем в кости для наших маленьких целей прогноза, а действия Бога в классическом броуновском движении таинственны так же, как и в радиоактивности, и в квантовом излучении или вообще во всей жизни.'

В утверждении Борна, как и в заключении Налимова, отражен прагматизм на базе экспериментальных исследований. Признается наличие определенной загадки, что такое случайная величина в мире, но подчеркивается наличие устойчивых статистических закономерностей. Из этого следует несколько парадоксальный вывод - использование случайных величин расширяет возможности детерминизма, поскольку делает его более гибким.

Случайная величина и экспериментальная физика

Случайные величины появились в астрономии и геодезии при попытке описать экспериментальные измерения на основе детерминированных физических теорий. В качестве решения в начале 19-го века был разработан метод наименьших квадратов и появилась вероятностная интерпретация происходящего. В дальнейшем развитии экспериментальной физики погрешности воспроизводимости оказались неотъемлемой частью лабораторной жизни. Таким образом, необходимость введения случайных величин появилась уже при использовании детерминированных физических теорий.

При рассмотрении результатов одного реального эксперимента проблему можно выразить следующим уравнением:

y_i = f(Θ, x_i) + ε_i

Множество экспериментальных точек {y_i, x_i} (подстрочный индекс i нумерует все точки) относится к реальности лабораторной жизни. Это результат проведения эксперимента, который используется для дальнейшей обработки данных. f(Θ, x_i) в уравнении относится к физической теории, в которой содержатся неизвестные параметры Θ, нахождение которых являлось целью проведения эксперимента. На этом этапе возникает проблема - ожидания физической теории не удается совместить с полученными экспериментальными точками. Ожидается, что экспериментальные точки описываются непрерывной гладкой функцией, но существуют неожиданные скачки.

В этот момент вводятся случайные ошибки воспроизводимости ε_i, поскольку считается, что такое положение дел не опровергает теорию. Другими словами, распределение вероятностей появляется для сохранения в силе исходной теории. Говорится, что в эксперименте были неконтролируемые факторы; правда, нельзя сказать, в чем они заключались, а также их нельзя устранить. Для объяснения привлекается теория вероятностей и предполагается, что отличие экспериментальных точек от ожиданий теории связано с наличием случайных ошибок воспроизводимости.

Таким образом, случайные величины всегда присутствовали в экспериментальной физике, но при этом в теоретической физике использовались детерминированные теории. Эта давало возможность теоретикам и философам мыслить детерминированный мир в духе демона Лапласа. Погрешности воспроизводимости при этом игнорировались как человеческое неумение достижения надлежащего контроля при проведении экспериментов.

Вероятности впервые появились в молекулярно-кинетической теории. Они также были связаны с представлением об ограниченности человеческих возможностей по определения всех положений и скоростей частиц и невозможностью решения соответствующей системы уравнений. Введение вероятностей и переход к статистике в молекулярно-кинетической теории не было связано с экспериментальной физикой, которая осталась на основе механики сплошных сред.

Положение изменилось при появлении теории броуновского движения, в которой обработка экспериментальных данных по положению броуновской частицы связано с использованием стохастического уравнения Ланжевена. Этот вопрос разбирался в статье 'Как движется броуновская частица при отсутствии измерений?', в которой подчеркивалось, что измерение броуновской частицы необходимо трактовать как испытание случайной величины, связанной с теорией. Заключительный этап связан со становлением квантовой механики, в которой не было механизма появления стохастичности. Однако с точки зрения экспериментальной физики положение осталось таким же, как при изучении движения броуновской частицы. Это обстоятельство было рассмотрено в статье 'Достоверность экспериментальных измерений в квантовой механике'.

Таким образом, можно выделить три этапа использования случайной величины в экспериментальной физике:

• Случайные ошибки воспроизводимости.

• Стохастичность из-за наличия флуктуаций.

• Стохастичность в квантовой механике.

Проведение реальных экспериментов во всех случаях не отличается. В качестве примера рассмотрим проведение двухщелевого эксперимента в статье 'Контролируемая двухщелевая дифракция электронов'. Это большой и сложной инструмент, который требует тщательной подготовки к работе. Электроны испускаются путем термоэлектронной эмиссии из вольфрамовой проволоки, проходят пространство, в котором расположены две щели, и регистрируются. Интенсивность электронного источника уменьшена таким образом, что регистрируются отдельные электроны.

Отличие от других экспериментов заключается в использовании квантовой механики для описания прохождения электроном области от испускания до регистрации, но с точки зрения подготовки и эксплуатации прибора разницы не найти. Отличие появляется при интерпретации полученных результатов. Соединение квантового формализма с экспериментом осуществляется правилом Борна, и с этой точки зрения свойства электрона в области прохождения задаются случайной величиной без объяснения механизма случайности. Тем не менее, нельзя сказать, что это свидетельствует о потере объективности в ходе проведения эксперимента.

Обсуждение

В прагматическом подходе Борна и Налимова вопрос механизма стохастичности на фундаментальном уровне, а также вопрос перехода от стохастичности к детерминизму остаются загадкой. Следует признать, что мы не знаем, почему так происходит. Однако использование случайной величины вызывает вопрос о реализме. Например, в статье Стивена Браша 'Эйнштейн и индетерминизм' это обстоятельство выражено таким образом:

'Что Эйнштейну не нравилось в квантовой теории, так это не просто то, что она постулировала присущую природе стохастичность, но и то, что она отрицала существование реального мира, независимого от наших наблюдений за ним.'

Рассмотрим этот вопрос в каждом из этапов использования случайной величины в экспериментальной физике. В большинстве случаев мы не знаем механизм происхождения случайных ошибок воспроизводимости, но это обстоятельство не смущало физиков-теоретиков, включая Эйнштейна. Возможно, что физики-теоретики не замечают существование случайных ошибок воспроизводимости, но в этом случае их рассуждения о природе случайности являются неполными.

В броуновском движении стохастичность входит в физическую теорию, и она объясняется наличием флуктуаций. Правда, механизм появления устойчивых частот флуктуаций остался в классической статистической механике открытым вопросом. Были разные идеи и попытки доказательства появления распределений вероятности в ходе детерминированного поведения системы, но довести их до конца в общем случае не удалось. Переход к квантовой механике поменял ситуацию и в настоящее время доказательства на уровне классической статистической механике имеют только академический интерес, поскольку понятно, что правильным является использование квантовой статистики. Таким образом, даже вопрос броуновского движения в итоге сводится к стохастичности в квантовой механике.

Рассмотрим снова двухщелевой эксперимент из упомянутой статьи. Попробуем понять логику физиков-теоретиков, которые на основе такого эксперимента приходят к выводу, что полученные экспериментальные результаты отрицают существование реального мира. Речь идет про связь между переходом электрона и измеренным положением электрона на детекторе. Для описания этой части прибора используется волновая функция электрона. С одной стороны, есть детерминированное уравнение Шрёдингера, которое описывает унитарное преобразование волновой функции, с другой, правило Борна, которое задает вероятности регистрации электрона в том или ином положении. В итоге свойства электрона в области перехода задаются случайной величиной, а результат измерения становится ее испытанием.

Попытки физиков-теоретиков разгадать механизм появления случайности на основе детерминированного уравнения Шрёдингера приводят к разным экстравагантным интерпретациям того, что происходит в области перехода электрона от эмиттера к детектору. В данной ситуации было бы разумно привести теоретиков в лабораторию и попросить их показать, где в ходе проведения эксперимента находится наблюдатель, требуемый формализмом квантовой механики, когда в ходе эксперимента происходят расщепления вселенной, и каким образом сознание физика-экспериментатора влияет на ход проведения эксперимента.

По-моему, признание существования свойств электрона в виде случайной величины выглядит гораздо более простым объяснением. Более того, следует вспомнить про существование случайных погрешностей воспроизводимости во всех экспериментах. Мы не знаем причину их появления, мы также не знаем причину появления случайности при прохождении электрона, но вряд ли это является поводом для выдвижения экстравагантных теорий о том, как устроен мир. Проще признать, что представление о детерминированном мире физиков-теоретиков невозможно подтвердить ни в одном реальном эксперименте.

В заключение отмечу, что при переходе к квантовой механике можно использовать ответ Эйнштейна в обсуждении формализма квантовой механики Гейзенберга после его доклада в 1926 году. Гейзенберг подчеркивал, что его теория построена при использовании только наблюдаемых величин, на что Эйнштейн дал такой ответ:

'Но с принципиальной точки зрения желание строить теорию только на наблюдаемых величинах совершенно нелепо. Потому что в действительности все ведь обстоит как раз наоборот. Только теория решает, что именно можно наблюдать'.

Однако это высказывание можно использовать против Эйнштейна, если сказать, что именно формализм использования случайной величины в квантовой механике решает, что такое реальное измерение. Связь квантовой механики и мира задается правилом Борна, и этим все сказано. Остается загадка механизма стохастичности в квантовой механике, а также загадка совмещения стохастичности с детерминизмом в мире, но это не мешает проведению дальнейших экспериментальных исследований.

Список литературы

Предыдущие статьи:
Как движется броуновская частица при отсутствии измерений?
Достоверность экспериментальных измерений в квантовой механике
Эдвин Джейнс: Принцип максимума энтропии

Д. Гильберт, Избранные труды. Т. II. 1998. Математические проблемы (1901). 6. Математическое изложение аксиом физики. с. 415-416.

Alan Hájek, Interpretations of Probability, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2023. Открытый доступ.

P. H. Byrne, Statistical and causal concepts in Einstein's early thought. Annals of Science 37, no. 2 (1980): 215-228.

М. Борн, Статистические теории Эйнштейна, В кн. М. Борн, Физика в жизни моего поколения, 1963. с. 172-188.

А. Эйнштейн, Замечания к статьям, в кн. Собрание научных трудов, 1967, т. 4, с. 294 - 315.

D. Kaiser, How the Hippies Saved Physics: Science, Counterculture, and the Quantum Revival, 2011.

В. В. Налимов, Почему мы пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего мира, В кн. Облик науки, 2018, с. 123 - 177.

Roger Bach et al, Controlled double-slit electron diffraction, New J. Phys. 2013, 15, 033018. Открытый доступ.

S. G. Brush, Einstein and indeterminism. Journal of the Washington Academy of Sciences 69, no. 3 (1979): 89-94.

В. Гейзенберг, Физика и философия. Часть и целое, 1989. V. Квантовая механика и беседа с Эйнштейном (1925—1926). с. 187-197.