Почему летящее тело не превращается в черную дыру?

И снова об этом заблуждении, которое возникает снова и снова. Ну как же, "релятивистcкая масса" тела увеличивается, тело сплющивается, идеальные условия для создания черной дыры! Ох уж эта релятивистcкая масса... Дадим три ответа на вопрос, вынесенный в название статьи - формальный, очевидный и подробный и поговорим об ОТО.

Три ответа

Когда я был маленький, я читал популярную книжку по ОТО - Общей Теории Относительности. Там рассказывалось про то, что быстро летящее тело набирает "релятивистcкую массу", становится очень тяжелым и притягивает все во вселенной. Там была даже примерно такая картинка:

Поэтому все картинки дальше будут в стиле ретрофутуризма. Термин "релятивистская масса" возник в начале 20 века, и был вытеснен из физики, но он успел прочно закрепиться в популярной литературе и в ней жив до сих пор. Давайте пользоваться правильными терминами:

Итак, три ответа на вопрос

Первый - расчеты для гравитационного радиуса Швардшильда выполняются в системе, где рассматриваемое тело покоится. Full stop, как говорят американцы. К летящему телу их применять нельзя.

Второй - законы природы едины для всех равномерно движущихся систем отсчета (ковариантность). Если тело превратилось в черную дыру для одного наблюдателя, то превратилось для всех. И наоборот. А раз тело для самого себя не потяжелело и не сплюснулось и не превратилось в черную дыру, то этого не произошло ни для одного наблюдателя.

Даже сейчас мимо нас пролетают тела на околосветовой скорости (OMG particles), и для них мы выглядим летящими на чудовищной скорости и сплюснутыми. И... с нами ничего не происходит:

Вы можете легко использовать ковариантность для решения задач в уме просто прыгая в подходящую систему отчета. Например, решите такую задачу (решать "в лоб" очень сложно):

Но все таки...

Здесь въедливый читатель спрашивает: ну хорошо, так в итоге что, летящие тела притягиваются слабее? Или сильнее? Это все желание выразить все элементы тензора массы энергии:

всего одним числом. Иногда это возможно (и мы рассмотрим такие случаи), иногда нет. Случаев, когда это возможно, несколько, и для них придуманы разные вспомогательные понятия массы, которые работают в некоторых - но не во всех! случаях.

Инкапсуляция

Это слово из программирования, не ОТО, но очень полезное. Как бы не перекладывались значения в тензоре, это не влияет на притяжение далеких тел - им нет дела до "движухи" внутри:

Рассмотрим прочную отражающую сферу, внутри которой аннигилирует килограмм материи и антиматерии. Это никак не влияет на притяжение тестовой массы. А вот внутри происходят интересные вещи:

Интересно, что масса сферы не может быть меньше 2кг, иначе при натяжении в 2кг вклад ее тензора станет отрицательным... не то, чтобы это было бы математически невозможно, но как минимум называется экзотической материей.

А вот продолжение задачи: а что будет, когда сфера остынет?

А если сферы нет?

Массы Bondi, ADM, Komar

Пример выше вдохновляет нас забить на ОТО и использовать старую добрую формулу Ньютона и, расcчитав обратным ходом массу в центре по притяжению далекого объекта, получившееся значение считать массой - эта идея используется для масс Bondi и ADM. Полностью забыть про ОТО, впрочем, не всегда получится - есть еще и гравитационные волны, которые уносят энергию.

Для использования этих масс у нас должна быть возможность постоять в сторонке, желательно подальше. А это не всегда возможно - эти массы неприменимы для, например, центра галактик, где суета вокруг черной дыры и куча звезд рядом.

Масса Komar может использоваться и в таких случаях - но она требует статичности объекта (что тоже не всегда возможно), зато она не требует спокойной пустоты вокруг. Наблюдатель на любой звезде в скоплении мог бы посчитать ее "статичной" (игнорируя приливные силы) и работать ее массой.

Разумеется, сумма всех Komar-масс звезд скопления, посчитанных локально, не совпадет с Bondi/ADM массой по наблюдению издалека. Для того, чтобы они совпали хотя бы приблизительно, надо учесть кинетическую энергию и энергию связи.

Если с кинетической энергией все просто (спойлер: нет, в искривленном пространстве все совсем не просто), то энергия гравитационной связи вообще хитрая вещь.

Она нелокализуема. Нельзя сказать что она тут, или там, или что еще больше у одного тела, и какова ее плотность.

Итак, что же с нашей пролетающий массой?

Давайте разберемся с таким примером. Первичная черная дыра массой 10^15 кг (астероид) пролетает сквозь Землю около лаборатории. Представили?

Как ни странно, это событие, скорее всего, окажется незамеченным. Черная дыра будет размером с протон, расчеты показывают, что при обычной галактической скорости в сотни километров в секунду она, пролетая Землю насквозь, "скушает" порядка 30 грамм массы, что ее замедлить не может - в итоге как она прилетела, так с точно такой же скоростью и улетела!

А как это отразится на тех, кто стоит рядом с ее траекторией? Первый эффект - резкое кратковременное притяжение, наш тестовый шар покатился в сторону траектории, набрав какую то скорость (kick). Эффект второго порядка - увлечение ЗА черной дырой (drag). Это не только эффект ОТО - такое происходит даже в классической механике Ньютона.

Начнем с притяжения, какую скорость наберет тестовое тело расстоянии 1 метр от траектории черной дыры для различных скоростей ее движения?

Как видно, вначале с ростом скорости эффект падает (тело проносится все быстрее и все меньше времени проводит рядом). Достигнув минимума (c/sqrt(3)), притяжение начинает расти линейно с фактором gamma, но даже для чудовищного gamma = 1000 едва сравнивается с эффектом медленно летящей черной дыры.

Что касается увлечения ЗА дырой (drag): этот эффект еще меньше, он в основном ньютоновский, для расстояния в метр он 0.89мм/сек, дальше только падает, и начинает расти только при очень больших gamma, для нашего максимального gamma=1000000 drag 0.13 микрон/сек

Так насколько безопасно для человека стоять около траектории черной дыры? Скорости в таблице кажутся маленькими, но... ускорение шоковое (скорость прохождения черной дыры больше скорости звука). Для гравитации даже это не так страшно (ускорение инерциальное) - важны лишь приливные эффекты. Примерный расчет дает разрыв тканей на расстоянии 30 см при 100км/сек, дальше размер зоны поражения уменьшается, возвращаясь к 30см при gamma = 1000 и далее растет.