טיפות מתגלגלות

פרופ' אהוד (אודי) יריב

הטכניון|הפקולטה למתמטיקה

נניח שאנחנו יושבים במכונית בזמן שיורד גשם. אנחנו מביטים בשמשת המכונית ורואים שטיפות גדולות זולגות על הזכוכית, ולצידן טיפות קטנות יותר “נתקעות”. זה הגיוני אם חושבים על זה: הרי לטיפות הגדולות יש יותר משקל, שמאפשר להן להתגבר על החיכוך עם הזכוכית. אבל השאלה איך טיפה זולגת אינה תמימה כפי שנראה במבט ראשון. למעשה, זוהי תעלומה תיאורטית מרתקת, ובעלת השלכות מעשיות מאוד.

“במאזן כוחות פשוט”, מסביר פרופ’ אהוד (אודי) יריב מהפקולטה למתמטיקה בטכניון, “אם אנחנו רוצים שהטיפה תחליק מעל המשטח – ובהנחה שאנחנו לא יכולים לשלוט בגודל הטיפה – אנחנו רוצים להגדיל את זווית המגע בין הטיפה לבין המשטח. אנחנו רוצים שהזווית הזאת תהיה כמה שיותר קרובה ל-180 מעלות, בידיעה שאי אפשר להגיע ל-180 מעלות ממש. חומרים בעלי זווית מגע גדולה יחסית נקראים ‘חומרים הידרופוביים’, והזווית עליהם מגיעה בדרך כלל לסביבות ה-120 מעלות. כולנו מכירים חומרים כאלה, דוגמת טפלון”.

מה השאלה?

מה קורה כשטיפה מתגלגלת על מישור משופע בזווית מגע של 180 מעלות?

אך מציאות לחוד ומתמטיקה לחוד. כאשר מדענים ניסו למדל את החלקת הטיפה מעל המשטח בשנות ה-70 של המאה שעברה, הם נתקלו בבעיה: המתמטיקה קובעת שצריך כוח אינסופי כדי להזיז טיפה.

“יש מושג שנקרא ‘סינגולריות קו מגע’”, מספר פרופ’ יריב. “זאת בעיה שאין לה פתרון במסגרת משוואות הזרימה. אתה כותב את המשוואות ומגיע למסקנה שהטיפה לא תזוז. ניתן להגיע מכך למסקנות פרדוקסליות: כך, אם נשפוך מים על השולחן – הם יעמדו במקום. במציאות המים כמובן יזלגו על השולחן. הנושא הזה של סינגולריות קו מגע הוא עדיין נושא פתוח, אבל עם השנים התברר שהסינגולריות נעלמת אם מגיעים לזווית המגע התיאורטית המקסימלית של 180 מעלות.

בעבר זה היה רק עניין אקדמי גרידא, אבל באמצע שנות ה-90, אכן גילו שמשטחים הידרופוביים בעלי חספוס מחזורי או אקראי ברמה של עשרות מיקרונים יוצרים זווית מגע הקרובה ל-180 מעלות, ולכן הם נקראים ‘חומרים סופר-הידרופוביים’. אגב, אחרי שגילו את החומרים הללו במעבדות התברר שלא מעט בעלי חיים וצמחים בטבע משתמשים בפטנט הזה כדי לא להירטב בגשם”.

הבעיה החריפה עם פרסומו של מאמר תיאורטי ב-1999, שניסה לדמיין מה יקרה לטיפה בזווית מגע של 180 מעלות – בהיעדר הסינגולריות הזאת. “זה מאמר פורץ דרך. החוקרים מצאו שאם ניקח טיפה ונניח אותה על מישור משופע בזווית מגע 180 מעלות, הטיפה לא תחליק – היא תתגלגל. כאילו מדובר בגולה, במוצק. זה כשלעצמו מעניין. אבל המסקנה השנייה שלהם הייתה עוד יותר מהפכנית ועוד פחות אינטואיטיבית. החוקרים ניסו לחשב את מהירות הטיפה המתגלגלת, והבינו שני דברים. שהמהירות מתנהגת ביחס הפוך לשורש תאוצת הכובד. כלומר ככל שיש יותר תאוצת כובד, הטיפה תתגלגל יותר לאט – ההפך הגמור מהאינטואיציה. ושנית, שהמהירות מתנהגת כמו אחד חלקי גודל הטיפה, כלומר ככל שהטיפה תהיה קטנה יותר כך היא תזוז מהר יותר. זה כל כך מוזר. ההפך מההיגיון, וההפך מכל מה שחוקרים בתחום של מכניקת זורמים של טיפות יודעים. המסקנות האלה היו שערורייתיות עד כדי כך, שהמחברים התקשו לפרסם את המאמר – ובסופו של דבר התפרסם מאמר ניסויי שהוכיח אותן עוד לפני שהתפרסם המאמר התיאורטי”.

המאמר המכונן ההוא מ-1999 תיאר את החוקיות, אבל לא הצליח לפתור את המשוואות. בהמשך, ובעזרת מענק מהקרן הלאומית למדע, חקרו שני חוקרים, אהוד יריב מהטכניון ואורי שניצר מאימפריאל קולג’ לונדון, את הזרימה ואת מהירות הטיפה באמצעות קירובים אנליטיים. עבודתם הורחבה גם למקרה התלת־ממדי, בשיתוף אנתוני דייוויס.

“לפתרון המתמטי שמצאנו יש השלכות תיאורטיות על בעיות נוספות, החורגות מטיפות מתגלגלות על מישורים משופעים. למשל, אם ניקח מישור לא משופע, מישור אופקי, ונניח עליו טיפה. מה הצורה של הטיפה? הצורה נקבעת על ידי תחרות בין כוח הכבידה, שרוצה לשטח אותה, לשטח הפנים, הנימיות, שרוצה שהטיפה תהיה כדורית. כעת נניח שהכובד חזק יחסית: הטיפה אכן תהיה שטוחה – אבל היא לא תוכל להיות שטוחה בקצה שלה… אם נרצה לדעת מה העומק של הטיפה, נצטרך להבין את צורת הקצה כי היא זו שקובעת את העומק. זאת דוגמה למה שנקרא במתמטיקה ‘בעיה סינגולרית’. אנחנו לא הראשונים שבדקנו את הגבול הזה, אבל דרך המחקר שלנו בטיפות מתגלגלות הצלחנו לבחון אותו בעיניים חדשות”.

אוהד נחתומי

שאלות ותשובות

מהי זווית מגע?

הזווית בין טיפה לבין המשטח שעליו היא מונחת. בחומרים הידרופוביים מוכרים, כמו טפלון, היא מגיעה לכ־120 מעלות. במשטחים סופר־הידרופוביים היא מתקרבת ל־180 מעלות.

מה הייתה התעלומה?

מאמר תיאורטי מ־1999 קבע שבזווית מגע של 180 מעלות טיפה על מישור משופע מתגלגלת ואינה מחליקה. לפיו, טיפה קטנה יותר נעה מהר יותר, וככל שתאוצת הכובד גדולה יותר הטיפה נעה לאט יותר. אבל המשוואות עצמן לא נפתרו.

מה פתרו החוקרים?

פרופ' אהוד יריב מהטכניון ואורי שניצר מאימפריאל קולג' לונדון פתרו את המשוואות. המהירות שחישבו תואמת את תוצאות הניסוי שפורסם בזמנו.

עוד בנושא באתר הידען

• להלך בין הטיפות
• מחשב הפועל בעזרת טיפות מים
• טיפות מים מעצבות ננו־מבנים של גרפן
• חומרים המתנקים מעצמם
• מחקים חרקים: משטחים וטיפות מים

לפרסום המקורי: טיפות מתגלגלות — אתר קול המדע, הקרן הלאומית למדע

עדכון מערכת — 16 באוקטובר 2026

לעבודות המתמטיות המתוארות יש תאריכים מוגדרים: Speed of rolling droplets של יריב ושניצר פורסם ב־2019; הניתוח התלת־ממדי, עם אנתוני דייוויס, פורסם ב־2020; והעבודה על צורת טיפה שטוחה על משטח אופקי פורסמה ב־2023. ההתקדמות המתמטית המתוארת התרחשה אפוא בשנים אלה, ולא ב־2026.